Элементарная математика. Геометрия.

Задача 284

Около окружности описана равнобочная трапеция $ABCD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ касаются окружности в точках $M$ и $N$, $K$ — середина $AD$. В каком отношении прямая $BK$ делит отрезок $MN$?

Решение: 
Пусть $AM = n$ и $MB = m$. А $Q$ — точка пересечения отрезков $BK$ и $MN$.
Тогда
1) Треугольник $MBQ$ подобен треугольнику $ABK$, так как трапеция $ABCD$ равнобочная и $MN$ параллельно $AD$.
Из подобия треугольников следует, что $\dfrac{MQ}{AK} = \dfrac{MB}{AB}$; $MQ = \dfrac{MB \cdot AK}{AB}$;
$MB = BP$ так как являются касательными из одной точки к окружности, так же как и $AM = AK$.  => $MQ = \dfrac{mn}{m + n}$.
2) Продлим стороны трапеции $AB$ и $CD$, точку их пересечения назовём $L$. Треугольник $BLC$ подобен треугольнику $ALD$, так как это равнобочная трапеция и её основания параллельны.
Из этого следует, что $\dfrac{BC}{AD} = \dfrac{BL}{AL}$;$\dfrac{2m}{2n} = \dfrac{BL}{BL + m + n}$;
$nBL = m(BL + m + n)$ => $BL$ $=$ $\dfrac{m^2 + mn}{n - m}$.
3) Треугольник $MLN$ подобен треугольнику $BLC$, так как $MN$ и $BC$ параллельны. 
Из этого следует, что $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{ML}{BL}$; $\dfrac{MN}{2m}$ $=$ $\dfrac{m + \dfrac{m^2 + mn}{n - m}}{\dfrac{m^2 + mn}{n - m}}$;
 $MN = \dfrac{4mn}{m + n}$;
$\dfrac{MQ}{NQ} = \dfrac{MQ}{MN - MQ} = \dfrac{\dfrac{mn}{m + n}}{\dfrac{4mn}{m+n} - \dfrac{mn}{m+n}} = \dfrac{1}{3}$.

Ответ:

$\dfrac{MQ}{NQ} = \dfrac{1}{3}$.