Элементарная математика. Геометрия.

Задача 306

В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$, радиус вписанной окружности равен $r$. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон $BC$ и $BA$, а другая — $BC$ и $CA$.

Решение:
Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры указанных равных окружностей. Тогда лучи $BO_1$ и $CO_2$ пересекаются в центре $O$ вписанной окружности треугольника $ABC$.
Отношение высот подобных треугольников $OO_1O_2$ и $OBC$, проведённых из общей вершины $O$, равно отношению соответствующих сторон, то есть
$\dfrac{r–x}{r} = \dfrac{2x}{a}$,
$1-\dfrac{x}{r}=\dfrac{2x}{a}$,
$1 = \dfrac{x}{r}+\dfrac{2x}{a}$,
$1 = \dfrac{xa+2xr}{ar}$,
$1 = \dfrac{x(a+2r)}{ar}$,
Отсюда находим $x=\dfrac{ar}{a+2r}.$

Ответ:

$x=\dfrac{ar}{a+2r}$.