Элементарная математика. Геометрия.

Задача 290

Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно $a$. Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности, и найдите ее радиус.

Решение:
Рассмотрим смежные углы $\angle{CKI}$ и $\angle{DKI}$. Центр окружности, вписанной в угол $\angle{CKI}$, лежит на биссектрисе $AK$ этого угла. Прямая $BK$ является биссектрисой угла $\angle{DKI}$. Аналогично для смежных углов $\angle{DLN}$ и $\angle{CLN}$. Угол между биссектрисами смежных углов — прямой, значит из каждой точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными отрезок $AB$ с концами в центрах окружностей виден под прямым углом. Значит, каждая такая точка лежит на окружности с диаметром $AB = a$. Так как $AB$ является диаметром искомой окружности и $AB = a$, то радиус окружности равен $\dfrac{a}{2}$.

Ответ: 

$\dfrac{a}{2}$.