Элементарная математика. Геометрия.

Задача 277

В треугольнике $ABC$ проведены высота $BM$, биссектриса $BN$ и медиана $BL$. Известно, что $AM = MN = NL$. Найдите тангенс угла $A$ этого треугольника.

Решение:
Для удобства обозначим $AM = MN = NL = x$ и $AB = y$, тогда из условия получаем $AL = LC = 3x$, $AN = 2x$, $NC = 4x.$
По свойству биссектрисы треугольника, имеем $\ds{\frac{AB}{BC} = \frac{AN}{NC} = \frac{2x}{4x} =\frac{1}{2}}$.
Отсюда следует, что $BC = 2AB = 2y$.
Для того, чтобы выразить $y$ через $x$, запишем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $BMA$($\angle{BMA} = 90^\circ$) и $BMC$($\angle{BMC} = 90^\circ$):
$BM^2 = AB^2 - AM^2 = y^2 - x^2$,
$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 4y^2 - 25x^2$ ,
$y^2 - x^2 = 4y^2 - 25x^2$,
$-3y^2 = -24x^2$,
$y = 2\sqrt{2}x$,
Следовательно,
$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{y^2 - x^2} = \sqrt{8x^2 - x^2} = \sqrt {7x^2} = x\sqrt{7}$.
Тогда
$\ds{\text{tg} A = \frac{BM}{AM} = \sqrt{7}}$.

Ответ:$\sqrt{7}$.