Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $C$ перпендикулярна медиане, выходящей из вершины $B$. Центр вписанной окружности лежит на окружности, проходящей через точки $A$, $C$ и центр описанной окружности. Найти $AB$, если $BC = 1$.

Решение:

1. Рассмотрим $\triangle BPC$ и $\triangle EPC$
$\angle EPC = \angle BPC$, $\angle ECP = \angle PCB$ — потому что биссектриса делит $\angle C$ пополам, и у обоих треугольников общая сторона $CP$. Тогда $\triangle BPC = \triangle EPC$. Следовательно, $EC = BC = 1$.
2. Так как медиана $EB$ делит сторону $AC$ пополам, то $AE = EC = 1$. Тогда $AC = 2$.
3. Рассмотрим описанную окружность
$\angle AOC$ — центральный, $\angle ABC$ — вписанный, оба угла опираются на дугу $AC$. Тогда $\angle AOC = 2 \angle ABC$.
4. Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $O$, $C$
$\angle AOC$, $\angle AO_{1}C$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Тогда $\angle AOC = \angle AO_{1}C$.
5. Из пунктов 3, 4 следует, что $\angle AO_{1}C = 2\angle ABC$.
6. С другой стороны, т.к. $O_1$ — центр вписанной окружности, то $\angle AO_{1}C = \frac{\pi}{2} + \frac{\angle ABC}{2}$.
7. Из пунктов 5, 6 следует, что $\angle ABC = 60^{\circ}$.
8. Чтобы найти сторону AB, используем теорему косинусов:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB \cdot BC \cdot cos\angle ABC$.
Подаставим в уравнение известные значения и получим уравнение $AB^{2} - AB - 3 = 0$, дискриминант которого $D = 1 + 3 \cdot 4 = 13$.
Получается два корня уравнения, где только один корень $AB = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ является решением, так как значение стороны не может быть отрицательным.

Ответ:

$\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.