Элементарная математика. Геометрия.

Задача 295

$ABCD$ — прямоугольник, в котором $AB = 9, BC = 7$. На стороне $CD$ взята точка $M$, так что $CM = 3$, а на стороне $AD$ — точка $N$, так что $AN = 2,5$. Найдите радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри пятиугольника $ABCMN$?

Решение:

Опишем около наибольшей окружности, которая помещается в пятиугольник $ABCMN$ прямоугольный треугольник $BPH$. Он построен путем продления стороны $BC$ и $BA$ прямоугольника $ABCD$. А его гипотенуза включает отрезок $MN$. Следовательно, задачу можно свести к нахождению радиуса вписанной в треугольник окружности.

Чтобы найти радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник воспользуемся следующей формулой: $r=\dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ соответственно катеты $BP$ и $BH$, а $c$ — гипотенуза $PH$. Таким образом, нам надо найти стороны треугольника $BPH$.

Для этого рассмотрим $\triangle CPM$, $\triangle DNM$, $\triangle ANH$. Эти треугольники подобны между собой по двум углам.

Из условия, что $CM=3$ и $AN=2,5$, находим соответственно длины $MD=6$ и $DN=4,5$.

Далее рассмотрим $\triangle CPM$ и $\triangle DNM$, чтобы найти длину $CP$. Составив соотношение сторон, $\dfrac{CM}{CP}= \dfrac{DM}{DN}$, подставим числовые значения и выразим $CP$.

$\dfrac{3}{CP}= \dfrac{6}{4,5}=>CP=\dfrac{9}{4}=>BP=BC+CP=7+\dfrac{9}{4}=\dfrac{37}{4}$.

Далее рассмотрим $\triangle DNM$ и $\triangle ANH$, чтобы найти длину $AH$. Составив соотношение сторон, $\dfrac{AN}{AH}=\dfrac{DN}{DM}$, подставим числовые значения и выразим $AH$.

$\dfrac{2,5}{AH}=\dfrac{4,5}{6}=>AH=\dfrac{10}{3}=>BH=BA+AH=9+\dfrac{10}{3}=\dfrac{37}{3}$.

Для нахождения $PH$ воспользуемся теоремой Пифагора.

$PH= \sqrt{BP^2+BH^2}=\sqrt{{\left(\dfrac{37}{4}\right)}^2 +{\left(\dfrac{37}{3}\right)}^2}=\dfrac{37 \cdot 5}{12}$.

Находим радиус $r=\dfrac{\dfrac{37}{4} + \dfrac{37}{3} - \dfrac{37 \cdot 5}{12}}{2}=\dfrac{\dfrac{37 \cdot 7}{12} - \dfrac{37 \cdot 5}{12}}{2}=\dfrac{\dfrac{37 \cdot 2}{12}}{2}=\dfrac{37}{12}$.

Ответ:

$r=\dfrac{37}{12}$.