Элементарная математика. Геометрия.

Задача 283

В треугольниках $ABC$ и $A'B'C'$ $AB=A'B'$, $AC=A'C'$, $\angle BAC=60 ^ \circ$, $\angle B'A'C'=120^ \circ$, $B'C':BC= \sqrt{n}$ ($n$ $-$ целое число). Найдите $AB:AC$. При каких $n$ задача имеет хотя бы одно решение?

Решение:

Для удобства введем обозначения $AC=a,AB=b,BC=x$.

Необходимо найти соотношение сторон: $\frac{AB}{AC} = \frac{b}{a}$.

1) По теореме косинусов для треугольников  $ABC$ и $A'B'C'$ соответственно имеем:

 $x^2=a^2+b^2-2ab \cos60^ \circ =a^2+b^2-a b$;           (1)

 $nx^2=a^2+b^2-2ab \cos120^ \circ = a^2+b^2+a b$.        (2)

2) Подставим (1) в (2) : $na^2+nb^2-nab=a^2+b^2+ab$, разделим получившееся выражение на $a^2$ $\Rightarrow$ $n+n( \frac{b}{a})^2-n(\frac{b}{a})=1+(\frac{b}{a})^2+\frac{b}{a}$.

3) Пусть $\frac{b}{a}=t$, получим: $n+nt^2-nt-1-t^2-t=0$ $\Rightarrow$ $(n-1)t^2-(n+1)t+n-1=0$.

При $n=1$ задача не имеет решений (получаем $t=0$). 

При $n \neq1$ имеем квадратное уравнение. 

$D=(n+1)^2-4(n-1)^2=(n+1-2n+2)(n+1+2n-2)=(3-n)(3n-1)$. 

Задача имеет решение, если $D \geq0$, т.е. $\begin{cases}(3-n)(3n-1)\geq 0,\\ n>1\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}3-n\geq0,\\n>1\end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases}n\leq3,\\n>1\end{cases}$$\Leftrightarrow$$1$.

Значит, $n=2$ или $n=3$.

При $n=2$ получим квадратное уравнение $t^2-3t+1=0$, дискриминант которого равен $D=9-4=5$.

Корни уравнения: $t_1= \frac{3- \sqrt{5} }{2} , t_2= \frac{3+ \sqrt{5} }{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{AB}{AC} = \frac{3 \pm \sqrt{5} }{2}$.

При $n=3$ получим квадратное уравнение $2t^2-4t+2=0$ $\Rightarrow$ $t^2-2t+1=0$ $\Rightarrow$ $(t-1)^2=0 \Rightarrow t=1 \Rightarrow\frac{AB}{AC} = 1$.   

Видео-объяснение решения:

Ответ:

Задача имеет решение при $n=2$ и $n=3$. При $n=2$ имеем два решения: $\frac{AB}{AC} = \frac{3- \sqrt{5} }{2}$, $\frac{AB}{AC} = \frac{3+ \sqrt{5} }{2}$ ; при $n=3$ имеем одно решение:$\frac{AB}{AC} =1$.