Элементарная математика. Геометрия.

Задача 293

Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина правильного треугольника совпадает с вершиной прямоугольника, а две другие находятся на его сторонах, не содержащих этой вершины. Найдите площадь правильного треугольника.

Решение:

Пусть $AB = 8$, $AC = 7$ и $\triangle AEF$ — правильный треугольник.

Так как в прямоугольном треугольнике косинус равен прилежащему катету, деленному на гипотенузу, то из $\triangle AEB$ следует, что $AE \cdot \cos \angle EAB = 8$.

Так как в прямоугольном треугольнике косинус равен прилежащему катету, деленному на гипотенузу, то из $\triangle ACF$ следует, что $AF \cdot \cos(90^\circ - 60^{ \circ} - \angle EAB) = 7$.

Поделим второе уравнение на первое и получим:

$\dfrac {AF \cdot \cos(30^{ \circ} - \angle EAB)}{AE \cdot \cos \angle EAB} = \dfrac {7}{8}$.

Так как $AF = AE$, то можем сократить и распишем $\cos$:

$\dfrac {\cos30^{ \circ} \cdot \cos\angle EAB - \sin30^{ \circ} \cdot \sin\angle EAB}{\cos \angle EAB} = \dfrac {7}{8}$.

Избавимся от дроби:

$\cos30^{ \circ} - \sin30^{ \circ} \cdot \text{tg}\angle EAB = \dfrac {7}{8}$.

Найдем тангенс:

$\dfrac {\sqrt 3}{2} - \dfrac {\text{tg}\angle EAB}{2} = \dfrac {7}{8}$,

$\text{tg}\angle EAB = \dfrac {8 \sqrt 3 - 14}{8} = \dfrac {4 \sqrt 3 - 7}{4}$.

Воспользуемся свойством, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, деленному на косинус угла между ними:

$AE = \dfrac {AB}{\cos \angle EAB} = \dfrac {8}{\cos \angle EAB}$.

Возведем в квадрат, получаем:

$AE^2 = \dfrac {64}{\cos^2 \angle EAB} = 64(1 + \text{tg}^2\angle EAB) =$ $64 + \dfrac {64(4\sqrt3 - 7)^2}{16} = 64 + 4(4\sqrt3 - 7)^2 = 64 + 4(97 - 56\sqrt3)$.

Так как $\triangle AFE$ равносторонний, то

$S = \dfrac {\sqrt3}{4} \cdot AE^2 = \dfrac {\sqrt3}{4}(64 + 4(4\sqrt3 - 7)^2) =$ $64 + 4(97 - 56\sqrt3) = 16\sqrt3 + 97\sqrt3 - 168 = 113\sqrt3 - 168$.

Ответ:

$S = 113\sqrt3 - 168$.