Элементарная математика. Геометрия.

Прямоугольник $ABCD$: $AB=4$, $AD=3$, $DB=5$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle DCB$: $\cos \angle BDC = \dfrac{4}{5}$.

Построим ромб $AMNK$: $M\in AB$, $N\in BC$, $K\in BD$. На рисунке можно перемещать точку $N$ так, чтобы точка $K$ оказалась на диагонали $BD$;

$KN || AM$  => $\angle ABK=\angle BKN=\angle BDC$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle BNK$: пусть $KN = x$, => $BK = \dfrac{x}{\cos \angle BKN} = \dfrac{5x}{4}$.

В $\triangle ABK$ по теореме косинусов:

$x^2 = AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2AB BK\cos \angle ABK = 16 + \dfrac{25x^2}{16} - 8x$;

$\dfrac{9x^2}{16}-8x+16=0$;

$D = 28, x_{1,2} = \dfrac{16(4 \pm \sqrt{7})}{9}$;

$x \leq 4$ => $x = \dfrac{16(4 - \sqrt{7})}{9}$.