Элементарная математика. Геометрия.

Задача 303

Окружность, проходящая  через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает прямые $AD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$. Точка $M$ удалена от вершин $B$, $C$ и $D$ соответственно  на расстояния $4$, $3$ и $2$. Найдите $MN$.

Решение:

Случай 1. Пусть $D$ лежит вне окружности.

Рассмотрим трапецию $ABCM$. Из того, что $ABCM$ вписана в окружность, следует, что $ABCM$ — равнобедренная трапеция.

$CM = AB = CD = 3$.

Из точки $D$ к окружности проведены две секущие.

По свойству секущих:

$DM \cdot DA = DN \cdot DC$.

$\frac{DA}{DN} = \frac{DC}{DM} = \frac{3}{2}$.

$\triangle DMN \sim \triangle ACD$, т.к. $\angle D$ — общий и стороны пропорциональны, следовательно, $\frac{AC}{MN}=\frac{3}{2}$.

$AC = BM = 4$ как диагонали равнобедренной трапеции.

$MN = \frac{AC \cdot 2}{3} = \frac{8}{3}$.

Случай 2. Пусть $D$ лежит внутри окружности.

Поскольку $\angle ABC=\angle ADC=\angle NDM$, $\angle ACB=\angle MAC=\angle MNC$, то треугольники $NDM$ и $CBA$ подобны. Следовательно, $\frac{MN}{AC}=\frac{MD}{AB}$. Кроме того, поскольку $ABCM$ — равнобедренная трапеция, то $AB = MC =3$,  $AC = MB = 4$.

Поэтому $MN = \frac{AC \cdot MD}{AB}=\frac{4 \cdot 2}{3}=\frac{8}{3}$.

Ответ:

$MN = \frac{8}{3}$.