Элементарная математика. Геометрия.

Задача 315

В прямоугольном треугольнике  $ABC$  из вершины прямого угла  $C$  проведены биссектриса  $CL$ $(CL = a)$  и медиана  $CM$ $(CM = b)$. Найдите площадь треугольника  $ABC$.

Решение:

По свойству медианы прямоугольного треугольника: $AB = 2b$.

Пусть $AC = x$, $CB = y$.

$S_{ABC}$ = $S_{CLB}$ + $S_{ALC}$.

Площади треугольников $S_{CLB}$ и $S_{ALC}$ выразим по формуле $S=\dfrac{1}{2}a b\sin{\alpha}$.

$S_{CLB} =\dfrac{1}{2} a y\sin 45^\circ$.

$S_{ALC} =\dfrac{1}{2}ax \sin 45^\circ$.

$\dfrac{xy}{2} = \dfrac{ay\sqrt 2}{4} + \dfrac{ax\sqrt 2}{4}$.

Упростив выражение получим: $x + y = \dfrac{xy\sqrt 2}{a}$.

По теореме Пифагора: $x^2 + y^2 = 4b^2$.

$(x + y)^2 - 2xy = 4b^2$;

$\dfrac{2x^2y^2}{a^2} - 2xy - 4b^2 = 0$;

$2x^2y^2 - 2xya^2 - 4a^2b^2 = 0$;

$(xy)^2 - a^2(xy) - 2a^2b^2 = 0$;

$x y=\dfrac{a^2 \pm a\sqrt{a^2 + 8b^2}}{2}$.

Так как отрицательные корни нас не интересуют, то
$S_{ABC} = \dfrac{a^2 + a\sqrt{a^2 + 8b^2}}{4}$.

Ответ:

$\dfrac{a^2 + a\sqrt{a^2 + 8b^2}}{4}$.