Элементарная математика. Геометрия.

Задача 275

В треугольнике $ABC$ высота, опущенная на сторону $AC$, равна $1$, $\angle ABC = 140^{ \circ}$. Найдите площадь общей части треугольника и круга с центром $B$ и радиуса $\sqrt{2}$.

Решение:

1) Докажем, что точки $L$ и $M$ лежат на стороне $AC$, а не на ее продолжении.
Пусть точка $C$ совпадает с точкой $M$.
$\sin \angle BCH = \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $\angle BCH = 45^{ \circ}$.
$\angle BCA + \angle ABC = 45^{ \circ} + 140^{ \circ} = 185^{ \circ}$. Сумма всех углов треугольника равна $180^{ \circ}$.
Значит, такой треугольник не существует и точки $L$ и $M$ лежат на стороне $AC$.

2) $S_{BFMLE}$ — площадь общей части.
$S_{BFMLE} = S_{сектор EBF} - S_{сегмент LM}$.
По формуле найдем площадь сектора: $S_{сектор EBF} = \pi r^2 \dfrac{\angle ABC}{360^{ \circ}} = 2 \pi \dfrac{140^{ \circ}}{360^{ \circ}} = \dfrac{7\pi}{9}$.
В $\triangle BHM$: $\cos \angle HBM = \dfrac{BH}{BM} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $\angle HBM = 45^{ \circ}$.
$\angle LBM = 2 \angle HBM = 90^{ \circ}$.
По формуле найдем площадь сегмента: $S_{сегмент LM} = \dfrac{1}{2} r^2 \left(\angle LBM - \sin \angle LBM \right) = \dfrac{2}{2} \left(\dfrac{\pi}{2} - 1\right) = \dfrac{\pi - 2}{2}$.
$S_{BFMLE} = \dfrac{7\pi}{9} - \dfrac{\pi - 2}{2} = \dfrac{5\pi + 18}{18}$.

Ответ:

$\dfrac{5\pi + 18}{18}$.