Элементарная математика. Геометрия.

Задача 310

Через точку $M$ внутри треугольника $ABC$ проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой. Найдите длины этих отрезков, если стороны треугольника равны $a, b, c$.

Решение:

Пусть $A_2C_{2}=A_{3}C_{3}=B_{1}C_{1}=d$.

Пусть $x$, $y$, $z$ — коэффициенты подобия $\triangle AB_{1}C_{1}$, $\triangle A_{2}BC_{2}$, $\triangle A_{3}B_{3}C$ соответственно по отношению к $\triangle ABC$.

Рассмотрим $\triangle AB_{1}C_{1}$, $\triangle A_{2}BC_{2}$ и $\triangle ABC$.

$AB_{1} = xAB$;

$A_{2}B = yAB$;

$AB + A_{2}B_{1} = AB_{1} + A_{2}B = xAB + yAB$;

$A_{2}B_{1} = (x + y - 1)AB$.

Следовательно $(x + y - 1)$ — коэффициент подобия $\triangle A_{2}B_{1}M$ к $\triangle ABC$.

Рассмотрим $\triangle A_{2}BC_{2}$, $\triangle A_{3}B_{3}C$ и $\triangle ABC$.

$CB_{3} = zCB$;

$C_{2}B = yCB$;

$CB + C_{2}B_{3} = CB_{3} + C_{2}B = zCB + yCB$;

$C_{2}B_{3} = (z + y - 1)CB$.

Следовательно $(z + y - 1)$ — коэффициент подобия $\triangle MB_{3}C_{2}$ к $\triangle ABC$.

Рассмотрим $\triangle AB_{1}C_{1}$, $\triangle A_{3}B_{3}C$ и $\triangle ABC$.

$AC_{1} = xAC$;

$A_{3}C = zAC$;

$AC + A_{3}C_{1} = AC_{1} + A_{3}C = xAC + zAC$;

$A_{3}C_{1} = (x + z - 1)AC$.

Следовательно $(x + z - 1)$ — коэффициент подобия $\triangle A_{3}MC_{1}$ к $\triangle ABC$.

Рассмотрим сторону $a$ $\triangle ABC$ и выразим её через отрезки $BB_{3}, B_{3}C_{2}, C_{2}C$.

$BB_{3} + B_{3}C_{2} + C_{2}C = a$.

Т.к. $B_{1}BB_{3}M$ и $MC_{2}CC_{1}$ — параллелограммы, то стороны $B_{1}M=BB_{3}$ и $MC_{1}=C_{2}C$.

Выразим сторону $a$ $\triangle ABC$ через стороны $B_{1}M, MC_{1}, B_{3}C_{2}$.

$B_{1}M + MC_{1} + B_{3}C_{2} = a$.

Выразим стороны $B_{1}M, MC_{1}, B_{3}C_{2}$ через $a$ с помощью найденных ранее коэффициентов и подставим в наше выражение

$a(x + y - 1) + a(x + z - 1) + a(z + y - 1) = a$;

Следовательно $x + y + z =2$.

Составим систему:

$\begin{cases} d = xa,\\ d = yb,\\ d = zc,\\ x + y + z = 2. \end{cases}$

$\begin{cases} x = \dfrac{d}{a},\\ y = \dfrac{d}{b},\\ z = \dfrac{d}{c},\\ x + y + z = 2. \end{cases}$

Из системы выразим искомую $d$:

$\dfrac{d}{c} + \dfrac{d}{a} + \dfrac{d}{b} = 2$;

$d = \dfrac{2abc}{bc + ac + ab}$.

Ответ:

$\dfrac{2abc}{bc + ac + ab}$.