Элементарная математика. Геометрия.

Задача 274

Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна $4$, сторона $AB$ равна $2 \sqrt{19}$. Известно, что центр окружности проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла $C$. Найдите $AC$.

Решение:

Введём обозначение $L, K, M$ — середины сторон $AC, AB, BC$ соответственно. 

1) $KL, LM, KM$ — средние линии, следовательно они параллельны $CB, AB, AC$ соответственно. 

2) Докажем, что около четырехугольника $LOMC$ можно описать окружность.
Для этого рассмотрим два треугольника $\triangle COL$ и $\triangle COM$. У них общая сторона $CO$, $OL=OM$ как радиусы окружности $w$, $\angle OCL = \angle OCM$, так как  $CO$ — биссектриса. Если бы они были равны, то $CL=CM$, а $\triangle LCM$ и $\triangle ABC$ — равнобедренные, но такого быть не может, так как по условию существования треугольника $AC+BC>AC$. Подставим числовые значения и получим: $4+4>2 \sqrt{19}$, что является неверным. Значит, $\triangle COL \neq \triangle COM$. 

Выясним, как они могут быть связаны. Для этого на стороне $CB$ отложим $CT=CL$ . В таком случае $\triangle COL = \triangle COT$, а $\triangle MOT$ — равнобедренный. Следовательно углы $\angle CMO$ и $\angle CLO$ дополняют друг друга до $180^ \circ$ , а это значит, что около четырехугольника $LOMC$ можно описать окружность  $w_1$.

3) $KLCM$ —  параллелограмм, $LM$ — диагональ, которая делит $KLCM$ на два равных треугольника: $\triangle LCM = \triangle MKL$. Значит радиусы окружностей $w$ и $w_1$ равны. 

В окружности $w$ $\angle LOM = 2\angle MKL$, так как они опираются на одну и ту же хорду $LM$, или $\angle LOM = 2\angle LCM$.

4) В окружности $w_1$ по теореме о вписанных углах: $\angle LCM + \angle LOM = 180^ \circ$.

Таким образом получаем: $3\cdot \angle LCM = 180^ \circ \Rightarrow \angle LCM = 60^ \circ$.

5) Запишем теорему косинусов для $\triangle ABC$ : $AB^2 = AC^2 + BC^2 -2 AC \cdot BC \cdot \cos\angle ACB$.

$(2 \sqrt{19} )^2 = AC^2 + 4^2 -2AC \cdot 4 \cdot \cos60^ \circ$.

Получаем квадратное уравнение: $AC^2 - 4AC - 60 = 0$.

Решая это уравнение, получаем два корня, из которых только один является решением, так как значение длины $AC$ не может быть отрицательным.
$AC = 10$.

Ответ:

$10$.