Элементарная математика. Геометрия.

Задача 308

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $c$. В каких пределах может меняться расстояние между центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан?

Решение:

Дан $\triangle ABD$ ($\angle D = 90^{\circ}$).
$H$ — центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис треугольника).
$G$ — точка пересечения медиан $DC$, $AE$ и $BF$.
$GH$ —  отрезок, который нам нужно оценить.

Найдём $\angle AHB$:

Пусть $\angle A = \alpha$, $\angle B =\beta$, тогда
$\angle A+\angle B+\angle D=180^{\circ}$;

$\dfrac{\angle A}{2} + \dfrac{\angle B}{2} = 45^{\circ}$;

$\angle AHB = 180^{ \circ} - \Big(\dfrac{\angle A}{2} + \dfrac{\angle B}{2}\Big) = 135^{\circ}$.

$\angle AHB$ принимает это значение независимо от размеров сторон треугольника (вытекает из того, что при вычислении угла мы не использовали никаких конкретных значений). Точка $H$ располагается на дуге окружности $AHB$. При приближении точки $D$ к точке $A$ ($B$), точка $H$ так же будет приближаться к $A$ ($B$), а $HG$ будет возрастать вплоть до максимального значения, равного $\dfrac{c}{3}$, которое получается при бесконечно близком приближении точки $D$ к точке $A$ ($B$), когда $G$ почти ляжет на $AB$, при этом сохранив свойство медиан о делении в отношении 2:1.

Минимальное же значение $HG$ принимает если $\triangle ABD$ будет равнобедренным. Тогда найдём радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности найдём по формуле:
 $r = \dfrac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — полупериметр треугольника.

$S=\dfrac{1}{2}DC\cdot AB$;

$p = \dfrac{1}{2}\left ( AB + 2\sqrt{DC^2 + \left ( \dfrac{AB}{2}\right )^2}\right )$;

$r=\dfrac{\dfrac{c}{2}\cdot c}{c+\sqrt{4\left (\dfrac{c}{2}\right )^2+c^2}}=\dfrac{c}{2(1+\sqrt 2)}$.

Тогда
$HG=r-\dfrac{c}{6}=\dfrac{c}{2(1 + \sqrt{2})} \dfrac{c}{6}=\dfrac{(3\sqrt{2}-4)c}{6}$.

Ответ:

$\dfrac{(3\sqrt{2} - 4)c}{6} \leq HG < \dfrac{c}{3}$.