Элементарная математика. Геометрия.

Решение:

Пусть точки $E$ и $F$ — пересечение диагоналей квадрата и ромба соответственно. Тогда $AE = DE = BE = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Докажем, что противоположная $A$ вершина ромба лежит на прямой $BD$ и попадает в центр квадрата. Рассмотрим треугольники $\triangle ADG$ и $\triangle ABH$. Они равны по теореме о перпендикуляре, наклонных и их проекциях, тогда $GD = BH$.  Следовательно $GH||DB$.  Так как  диагонали в ромбе и в квадрате пересекаются под прямым углом, значит точки  $A, F, E, C$ лежат на одной прямой.

$AF = FE = \frac{\sqrt{2}}{4}$, так как $AF = \frac{AE}{2}$.

Из параллельности $GH||DB$ следует, что

$\dfrac{CE}{CF} = \dfrac{ED}{GF}$.

$GF = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$.

$GE = \sqrt{GE^2 + GF^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.