Элементарная математика. Геометрия.

Задача 298

Точка $M$ удалена от сторон правильного треугольника (от прямых, на которых расположены его стороны) на расстояния $2$, $3$ и $6$. Найдите сторону правильного треугольника, если известно, что его площадь меньше $14$.

Решение:

Некоторые точки можно двигать мышкой.

Для начала определим расположение точки $M$.

1) Первый случай — точка $M$ располагается внутри треугольника. Тогда высота треугольника должна быть больше $6$. Вычислим в таком случае площадь треугольника: $S_{ABC} = \dfrac{h^2}{\sqrt 3}$. Получаем, что $S_{ABC}$ должна быть больше $\dfrac{36}{\sqrt 3}$, что противоречит условию. Таким образом, точка $M$ не может лежать внутри треугольника.

2) Второй случай — точка $M$ лежит внутри $\angle BAC$ и вне треугольника.

Так как $\triangle ABC$ — правильный, то всего его углы равны $60^{ \circ}$. $\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^{ \circ}$.

Найдём $\angle BCT$: $\angle BCM = \angle MCA - \angle BCA = 90^{ \circ} - 60^{ \circ} = 30^{ \circ}$.

Рассмотрим $\triangle CBT$: $\angle CBT = 180^{ \circ} - 60^{ \circ} = 120^{ \circ}$.

Найдём $\angle BTC$: $\angle BTC = 180^{ \circ} - 120^{ \circ} - 30^{ \circ} = 30^{ \circ}$.

$\Rightarrow \triangle CBT$ — равнобедренный. Значит, $BT = BC$.

В $\triangle KMT$ найдем $TM$: Так как $KM$ лежит против угла $30^{ \circ}$, то $TM = 2 \cdot KM = 2 \cdot 2 = 4$. Тогда, $CT = TM + MC = 4 + 6 = 10$.

Для того, чтобы найти $BC$, воспользуемся формулой для нахождения стороны в равнобедренном $\triangle CBT$:

$a = \dfrac{b}{2\cos\alpha}$.

$\Rightarrow BC = \dfrac{CT}{2\cos\angle BCT} = \dfrac{10}{2 \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2}} = \dfrac{10\sqrt 3}{3}$.

$BC = AB = AC = \dfrac{10\sqrt 3}{3}$.

Проверим, чтобы $S_{ABC}$ была меньше $14$: $S_{ABC} = \dfrac{a^2 \sqrt 3}{4} = \dfrac{25 \sqrt 3}{3} > 14$.

Значит, данное решение не подходит.

3) Далее рассмотрим третий случай: Точка $M$ лежит вне треугольника и вне $\angle BAC$.

Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, то всего его углы равны $60^{ \circ}$. $\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^{ \circ}$.

Находим $\angle BCM$: $\angle BCM = \angle MCA - \angle BCA = 90^{ \circ} - 60^{ \circ} = 30^{ \circ}$.

Находим $\angle CBT$: $\angle CBT = 180^{ \circ} - \angle ABC = 180^{ \circ} - 60^{ \circ} = 120^{ \circ}$.

$\Rightarrow$ по сумме углов треугольника находим $\angle BTC$: $\angle BTC = 180^{ \circ} - 120^{ \circ} - 30^{ \circ} = 30^{ \circ}$.

Значит, $\triangle CBT$ — равнобедренный.

$\angle MTK = \angle BTC = 30^{ \circ}$. Значит, в прямоугольном $\triangle MTK$ сторона (катет) лежит против угла $30^{\circ}$.

$\Rightarrow$ гипотенуза $MT = 2 \cdot MK = 4$.

Находим $CT$: $CT = MC - MT = 6 - 4 = 2$.

Для нахождения $BC$ воспользуемся формулой для нахождения стороны в равнобедренном $\triangle CBT$:

$a = \dfrac{b}{2\cos\alpha}$.

$\Rightarrow BC = \dfrac{CT}{2\cos\angle BCT} = \dfrac{2}{2 \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2}} = \dfrac{2\sqrt 3}{3}$.

$BC = AB = AC = \dfrac{2\sqrt 3}{3}$.

Ответ:

$\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.