Элементарная математика. Геометрия.

Задача 312

В треугольнике  $ABC$  проведены медиана $AD$, $\angle DAC + \angle ABC = 90^\circ \$. Найдите $\angle BAC$, если известно что $AB\neq AC$.

Решение:

Углы $\angle DAC$ и $\angle ABC$ обозначим как $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Проведем перпендикуляр из точки $D$, который пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $C_1$.

Получаем, что $\triangle BC_1C$ — равнобедренный, так как $C_1D$ является одновременно и высотой и медианой, следовательно $\angle ABC = \angle DCC_1$.

Выражаем угол $\angle CC_1D$:
$\angle DCC_1+\angle CC_1D=90^\circ=\angle ABC+\angle DAC\Rightarrow\angle CC_1D=\angle DAC=\alpha$.

Углы $\angle DAC$ и $\angle CC_1D$ опираются на сторону $DC$, $\angle DAC = \angle CC_1D$, значит данные углы являются вписанными для окружности, проведённой через точки $A, D, C, C_1$.  

Из свойств равнобедренного треугольника следует, что $\angle DC_1A = \angle DC_1C$, далее, углы $\angle DC_1A$ и $\angle DCA$ опираются на хорду $AD$, что значит, что они равны.

Из этого следует, что $\triangle DAC$ — равнобедренный и $DA=DC$, более того,  $DA=BD$ и  $\triangle BDA$ — равнобедренный.

На основании изложенного получаем
$\angle DBA=\angle BAD\Rightarrow\angle BAC=\alpha+\beta=90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ \$.