ЭМГеометрия: Задача 294

Задача 294

Найти радиус наименьшей окружности, содержащей равнобочную трапецию с основаниями $15$ и $4$ и боковыми сторонами, равными $9$ .

Решение:

Очевидно, что диаметр наименьшей окружности, содержащей трапецию, не больше, чем диаметр описанной возле данной трапеции окружности и не меньше, чем длина большего основания трапеции: длина большего основания трапеции ≤ диаметр наименьшей окружности, содержащей трапецию ≤ диаметр описанной около трапеции окружности.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^{\circ}$ . Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. Так как по условию нам дана равнобокая трапеция, то опишем вокруг данной нам трапеции окружность.

Так как мы ищем радиус наименьшей окружности, содержащей равнобокую трапецию, а радиус в свою очередь связан с центром окружности, соответственно, для корректного определения радиуса нам необходимо выяснить : как располагается центр окружности, описанной около трапеции, относительно самой трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

(*) Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус наименьшей окружности, содержащей равнобокую трапецию, в этом случае совпадает с радиусом описанной около трапеции окружности и равен половине ее большего основания.

(**) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции. Радиус наименьшей окружности, содержащей равнобокую трапецию, в этом случае так же совпадает с радиусом описанной около трапеции окружности, так как при таком расположении центра окружности относительно трапеции одновременно выполняются следующие утверждения:

Большее основание трапеции является хордой окружности, а любая хорда окружности меньше ее диаметра.
При смещении положения вершин трапеции относительно оси $Oy$ , некоторые точки трапеции выходят за пределы окружности, что подразумевает под собой, что трапеция перестает содержать окружность.

(***) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, то центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. Диаметр наименьшей окружности, содержащей равнобокую трапецию, в данном случае совпадает с большим основанием трапеции, так как при таком расположении центра окружности относительно трапеции одновременно выполняются следующие утверждения:

Большее основание трапеции является хордой окружности, а любая хорда окружности меньше ее диаметра.
При смещении положения вершин трапеции относительно оси $Oy$ , вершины меньшего основания трапеции располагаются в пределах окружности до момента, пока большее основание трапеции не совпадет с диаметром окружности. Соответственно, исходя из этого факта и утверждения 1) можно говорить о том, что смещая трапецию относительно оси $Oy$ так, чтобы большее основание трапеции совпадало с диаметром окружности, мы добиваемся уменьшения радиуса, содержащей трапецию окружности, при этом не теряя условия содержания трапеции окружностью, так как вершины меньшего основания трапеции находятся внутри окружности.

Радиус наименьшей, содержащей равнобокую трапецию, окружности в этом случае равен половине её большего основания.

Таким образом, наша задача сводится к определению положения центра, описанной около трапеции, окружности относительно самой трапеции и определении радиуса окружности исходя определенного нами положения.

Так как положение центра окружности, описанной около равнобочной трапеции, относительно самой трапеции зависит от угла между диагональю трапеции и её боковой стороной, то проведём диагональ $AC$ трапеции $ABCD$ . Соответственно, теперь нам нужно определить, какого типа угол $\angle ACD$ : тупой ( $>90^{\circ}$ ), острый () или прямой ( $=90^{\circ}$ ).

Введём некоторые обозначения: $\angle ACD=\gamma$ , $\angle CAD=\beta$ , $\angle ADC=\alpha$ , $AC=d$ .

Рассмотрим $\triangle ACD$ .

По теореме косинусов:

$AD^2=d^{2}+CD^2-2\cdot d\cdot CD\cdot \cos\gamma$ ;

$\cos\gamma=\dfrac{d^2+CD^2-AD^2}{2\cdot d\cdot CD}$ ;

Отсюда следует, что :

1*) если $d^2+CD^2>AD^2$ , то $\cos\gamma> 0$ и наибольший угол $\gamma$ треугольника $\triangle ACD$ — острый;

2*) если $d^{2} + CD^{2} < AD^{2}$ , то $\cos \gamma< 0$ и угол $\gamma$ треугольника $\triangle ACD$ — тупой;

3*) если $d^{2} + CD^{2} = AD^{2}$ , то $\cos\gamma= 0$ и угол $\gamma$ треугольника $\triangle ACD$ — прямой.

Выразим, чему равно значение $d^2$ (квадрат длины диагонали $d$ ).

Для этого, сначала проведём высоту $CM$ трапеции $ABCD$ .

$MD = \dfrac {AD - BC}{2} = \dfrac {15-4}{2} = \dfrac {11}{2} = 5,5$ ;

Рассмотрим треугольник $\triangle CMD$ .

$\angle CMD = 90^{\circ}$ , $MD = 5,5$ , $CD = 9$ .

Тогда по теореме Пифагора выразим квадрат длины высоты $CM$ :

$CD^{2} = CM^{2} + MD^{2}$ ;

$CM^{2} = CD^{2} - MD^{2} = 9^{2} - 5,5^{2} = 81 - 30,25 = 50,75$ .

Рассмотрим треугольник $\triangle CMA$ .

По теореме Пифагора выразим квадрат длины диагонали трапеции $ABCD$ :

$d^{2} = CM^{2} + AM^{2} = CM^{2} + (AD - MD)^{2} = 50,75 + (15 - 5,5)^{2} = 50,75 + 90,25 = 141$ .

Проверим, какое из трёх утверждений (1*, 2*, 3*) выполняется для нашего случая, подставив соответствующие значения :

$d^{2} + CD^{2} = 141 + 9^{2} = 141 + 81 = 222$ ;

$AD^{2} = 15^{2} = 225$ ;

$222 < 225$ , отсюда следует, что $d^2+CD^2$ , а, значит, выполняется условие 2*) и угол $γ$ — тупой ( $>90^{\circ}$ ). Соответственно, согласно пункту (***), центр, описанной около трапеции $ABCD$ , окружности лежит вне трапеции $ABCD$ и радиус наименьшей, содержащей равнобокую трапецию $ABCD$ , окружности в этом случае равен половине её большего основания $AD$ : $\dfrac {1}{2} \cdot AD = \dfrac {15}{2} = 7,5$ .

Ответ:

$7,5$

Тағйироти охирин: Ҷумъа 29 Январ 2021, 15:37