ЭМГеометрия: Задача 311

Задача 311.

В треугольник $ABC$ помещены три равные окружности, имеющие одну общую точку. При этом каждая окружность касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $r$ и $R$ .

Решение:

1. Пусть искомый радиус равен $x$ .

2. Из условия следует, что $O_1O_2||AB, O_1O_3 || AC, O_2O_3||BC$ и равны углы при параллельных основаниях(как соответственные).

3. По теореме синусов в $\triangle ABC: \sin \angle BAC = \dfrac{BC}{2R}$ , в $\triangle O_{1}O_{2}O_{3}: \sin \angle O_{2}O_{1}O_{3} = \dfrac{O_{2}O_{3}}{2x}$ , где $x=O_1T=O_2T=O_3T$ , поскольку $T$ равноудалена от $O_1, O_2$ и $O_3$ . $\angle BAC=\angle O_{2}O_{1}O_{3} \Rightarrow\sin\angle BAC=\sin\angle O_{2}O_{1}O_{3}\Rightarrow\dfrac{BC}{2R}=\dfrac{O_{2}O_{3}}{2x}$ . Тогда $\dfrac{O_{2}O_{3}}{BC} = \dfrac{x}{R}$ .

4. По условию каждая окружность касается двух сторон треугольника, следовательно $O_1, O_2, O_3$ лежат на биссектрисах углов соответствующих сторон. Значит биссектрисы $\triangle O_{1}O_{2}O_{3}$ и $\triangle ABC$ совпадают и пересекаются в точке $I$ , которая является центром вписанных окружностей.

5. Рассмотрим треугольники $\triangle BIC, \triangle O_{2}IO_{3}$ , образованные лучами $BO_{2}$ и $CO_{3}$ . Их основания относятся как высоты, проведенные к ним, т.е. $\dfrac{O_{2}O_{3}}{BC}=\dfrac{IJ}{IK} = \dfrac{IK-JK}{IK} = \dfrac{r-x}{r}$ .