Элементарная математика. Геометрия.

Задача 313

В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают.

Решение:

1) По условию дано, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают. Центр тяжести квадрата — точка пересечения диагоналей, центр тяжести треугольника —  точка пересечения медиан, тогда  $DF$,  $EG$,  $BM_1$,  $AM_2$  и $CM_3$  пересекаются в точке $O$. У квадрата с единичной площадью сторона равна $1$.

2) По условию, $EF||AC$. Значит $\triangle BFE$ — равнобедренный и подобен  $\triangle ABC$.

3) Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины:
$BL=LO=OM_1=\frac{1}{2}$, $BL=OM_1=LE=LF=\frac{1}{2}$.
Отсюда заключаем, что коэффициент подобия $\triangle ABC$ и $\triangle BFE$ равен 3, а
  $S_{BEF}=\frac{1}{4}$.

4) На основании того, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, заключаем 
$S_{ABC}=3^2 S_{BEF}=9\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$.

Ответ:

$\dfrac{9}{4}$.