ЗШЮМ ММФ

Задачи на построение

        Для изображения геометрических фигур пользуются различными чертежными инструментами: линейкой (в том числе линейкой с делениям), циркулем, угольником, транспортиром. Оказывается, что многие фигуры можно построить с помощью только циркуля и линейки без делений.

        Задачи, в которых требуется построить какую-то фигуру с помощью только этих двух инструментов, называются задачами на построение.

        В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.

Допустимые построения. В задачах на построение допускаются следующие операции:

1. Отметить точку:

• произвольную точку плоскости;
• произвольную точку на заданной прямой;
• произвольную точку на заданной окружности;
• точку пересечения двух заданных прямых;
• точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
• точки пересечения/касания двух заданных окружностей.

2. С помощью линейки можно построить прямую:

• произвольную прямую на плоскости;
• произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
• прямую, проходящую через две заданных точки.

3. С помощью циркуля можно построить окружность:

• произвольную окружность на плоскости;
• произвольную окружность с центром в заданной точке;
• произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
• окружность с центром в заданной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения искомого объекта.
2. Доказательство того, что объект, построенный описанным способом, действительно является искомым.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

1. Метод геометрических мест.

2. Методы геометрических преобразований:

        2.1. Метод центральной симметрии

      2.2. Метод осевой симметрии

        2.3. Метод параллельного переноса

      2.4. Метод поворота

      2.5. Метод подобия

3. Алгебраический метод.

Начнем с простейших задач на построение.

Пример 1.

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному отрезку.

Решение:

На рисунке $1, а$ изображен данный луч $OC$ и данный отрезок $AB.$ С помощью циркуля построим окружность радиуса $AB$ с центром $O$. На рисунке $1, б$ изображена дуга этой окружности, пересекающая данный луч в точке $D$. Отрезок $OD$ – искомый, так как $OD = AB.$

Пример 2.

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение:

Данный угол с вершиной $А$ и луч $ОМ$ изображены на рисунке 2.
Проведем произвольную окружность с центром в вершине $А$ данного угла. Пусть $В$ и $С$ — точки пересечения окружности со сторонами угла (рис.3, а). Радиусом $АВ$ проведем окружность с центром в точке $О$ — начальной точке данного луча (рис.3, б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим $С_1$. Опишем окружность с центром $С_1$ и радиусом $ВС$. Точка $В_1$ пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства $\triangle ABC = \triangle ОВ_1С_1$ (третий признак равенства треугольников).

Пример 3.

Построить биссектрису данного угла (рис.4).

Решение:

Из вершины $А$ данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть $В$ и $С$ — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек $В$ и $С$ тем же радиусом описываем окружности. Пусть $D$ — точка их пересечения, отличная от $А$. Луч $AD$ делит угол $А$ пополам. Это следует из равенства $\triangle ABD = \triangle ACD$ (третий признак равенства треугольников).

Пример 4.

Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку (рис.5).

Решение:

Произвольным, но одинаковым раствором циркуля ( большим $\ds{\frac{1}{2}} АВ$ ) описываем две дуги с центрами в точках $А$ и $В$, которые пересекутся между собой в некоторых точках $С$ и $D$. Прямая $CD$ будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек $С$ и $D$ одинаково удалена от $А$ и $В$; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $АВ.$

Пример 5.

Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Решение:

Возможны два случая:

1) данная точка $О$ лежит на данной прямой $а$ (рис. 6).

Из точки $О$ проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках $А$ и $В$. Из точек $А$ и $В$ проводим окружности радиусом $АВ$. Пусть $С$ — точка их пересечения. Получаем $ОС \perp AB$. В самом деле, $\triangle АСВ$ — равнобедренный, $СА = СВ.$ Отрезок $СО$ есть медиана этого треугольника, а следовательно, и высота;

2) данная точка $О$ не лежит на данной прямой $а$ (рис.7).

Из точки $О$ проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую $а$ в точках $А$ и $В.$ Из точек $А$ и $В$ тем же радиусом проводим окружности. Пусть $О_1$ — точка их пересечения, отличная от $О.$ Получаем $ОО_1 \perp AB$. В самом деле, точки $О$ и $О_1$ равноудалены от концов отрезка $АВ$ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Пример 6.

Построить сумму двух отрезков.

Решение:

Для построения на данном луче отрезка, равного сумме двух данных отрезков, нужно дважды применить метод построения отрезка, равного данному.

Пример 7.

Построить сумму двух углов.

Решение:

Для того чтобы отложить от данного луча угол, равный сумме двух данных углов, нужно дважды применить метод построения угла, равного данному.

Пример 8.

Найти середину отрезка.

Решение:

Для того чтобы отметить середину данного отрезка, нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку и отметить точку пересечения перпендикуляра с самим отрезком.

Пример 9.

Построить перпендикулярную прямую через данную точку.

Решение:

Пусть требуется построить прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку. Проводим окружность произвольного радиуса с центром в данной точке (независимо от того, лежит она на прямой или нет), пересекающую прямую в двух точках. Строим серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках пересечения окружности с прямой. Это и будет искомая перпендикулярная прямая.

Пример 10.

Построить параллельную прямую через данную точку.

Решение:

Пусть требуется построить прямую, параллельную данной и проходящую через данную точку вне прямой. Строим прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярную данной прямой. Затем строим прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярную построенному перпендикуляру. Полученная при этом прямая и будет искомой.