Элементарная математика. Геометрия.

Задача 286

Расстояние от точки $M$ до трех вершин прямоугольника равны (последовательно) $3, 5, 4$. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Воспользуемся координатным методом решения.
Обозначим заданный в условии прямоугольник $ABCD$. $AB = a, BC = b$.
Введем координатную систему с началом в точке $A$, $Ox$ направление по $AB$, а $Oy$ по $AD$, тогда координаты $A(0, 0), B(a,0), C(a,b), D(0,b)$.
Пусть $M(x,y)$ — произвольная точка плоскости, тогда:
$MA^2 + MC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (x-a)^2 + (y-b)^2$;
$MB^2 + MD^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (x-a)^2 + (y-b)^2$.
Мы видим что правые части равны, следовательно равны и левые части
$MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$ откуда имеем
$MA^2 = MB^2 + MD^2 - MC^2$.
По условию задачи: $MD = 3, MC = 5, MB = 4$. Подставляем эти значения в последнюю формулу:
$MA^2 = 4^2 + 3^2 - 5^2 = 16 + 9 - 25 = 25 - 25 = 0$.
Значит точка $M$ совпадает с точкой $A$ и поэтому $AB = 3, AD = 4$.
Окончательно, площадь прямоугольника равна
$AB \cdot AD = 3 \cdot 4 = 12$ (см²).

Ответ:

$12$ см².