Пятый класс

Математика

Воспользуйтесь движком на левой части рисунка и подвигайте чертеж мышкой на правой части рисунка

Подвигайте мышкой на рисунке зеленые точки

Натуральные числа. Чтение, запись, сравнение, сложение и вычитание.

Понятие числа

Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках,  например, в древнегреческом, существовали три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя, между тремя и четырьмя, например, деревьями.

Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово «три» использовалось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; представление о том, что эти группы имеют между собой нечто общее – понятие троичности – появилось позднее. Счет возник раньше появления понятия троичности. Об этом свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», как и слова «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета «один», «два», «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый» ясно указывают на взаимосвязь этих слов.

Названия чисел появились позднее, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой группе. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок (на палке, кости, камне, …), узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались.

Мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов.

Видимо, поэтому долгое время число “семь” было пределом познания. Говорят: «семь раз отмерь, один отрежь», о далеком “за семью морями” и т. п. Следующим пределом у славянского народа было число “тьма”, (у древних греков – мириада), равное $10 000$, а за пределом – “тьма тьмущая”, равное 100 миллионам.

Широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. Для некоторых измерений или вычислений использовались и используются другие основания, например 2, 60, 12.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, а необходимость записи чисел появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Появилась система записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии.

Современную систему обозначения чисел часто называют арабской, хотя она берет начало не из Аравии, а из Индии. Арабы записывали числа словами, но затем стали обозначать числа буквами своего алфавита. В 772 г. индийский трактат «Сидданта» был привезен в Багдад и переведен на арабский, после чего стали использоваться две системы записи чисел: алфавитная и система обозначения чисел, заимствованная из Индии.

...

Натуральные числа и нуль

Определение

Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте.

Название «натуральное» происходит от латинского слова natura – природа. Впервые термин «натуральное число» появляется в трудах римского философа Боэция, жившего в $V$ – $VI$ веке.

Натуральными числами можно обозначить (сосчитать) реальные неделимые объекты: людей, животных, вещи…

Самое маленькое натуральное число $1$. А вот самого большого натурального числа не существует: если выбрать даже очень большое натуральное число $n$, то можно найти еще большее натуральное число $n + 1$. Иначе говоря, множество всех натуральных чисел бесконечно.

...

• Число 0 не является натуральным числом;

Определение

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,$ ...

Что в этой записи означает многоточие?

В натуральном ряду за каждым числом следует еще одно число, на 1 большее. Перечисление натуральных чисел не имеет конца; говорят, что натуральный ряд бесконечен. Весь натуральный ряд записать невозможно. Поэтому поступают следующим образом: выписывают подряд несколько последовательных натуральных чисел, начиная с $1$, после чего ставят многоточие.

Первым числом в натуральном ряду является $1$, а последнего числа не существует. В натуральном ряду каждое следующее число на $1$ больше предыдущего и каждое предыдущее меньше следующего на $1$. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Итак, свойства натурального ряда следующие:

1. В натуральном ряду 1 есть первое число;

....

Сумма чисел $a$ и $b$ обозначается так: $a + b$.

Рис. 2

Суммой чисел $a$ и $b$ называется число $m$, получаемое при сложении чисел $a$ и $b$ (рис. 2): $m = a + b$.

Суммой чисел $a$ и $b$ также называется и выражение $a + b$ (рис. 2).

Числа $a$ и $b$ называются слагаемыми (рис. 2).

Переместительный закон сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

То есть для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:

$a + b = b + a$.

...

Пример 1.

Прочитать число: а) $239073972$; б) $43231000732$.

Решение:

а) Выделим, используя промежутки, в заданном числе классы: 239  073  972. Назовем число единиц каждого класса слева направо: $239$ миллионов $73$ тысячи $972$. Название класса единиц не произносится. Цифра $0$ означает отсутствие единиц соответствующего разряда и при чтении не произносится.

б) Выделим в этом числе классы: 43 231 000 732 и прочтем его: $43$ миллиарда $231$ миллион $732$. Название класса, все три цифры которого нули, не произносится.

Ответ.

а) $239$ миллионов $73$ тысячи $972$;

б) $43$ миллиарда $231$ миллион $732$.

Пример 7.

Сложить числа $9654$ и $2378$.

Решение:

Расположим числа друг под другом таким образом, чтобы одинаковые разряды были в одном столбце, и выполняем сложение в разряде единиц (таблица 1).

В результате получилось $4+8=12$. Полученное двузначное число $12$ записываем (таблица 1), расположив $1$ в разряд десятков, а цифру $2$ в разряд единиц результата. Число десятков при сложении на $1$ увеличиваем.

Переходим к столбцу десяток (таблица 2). Складывая цифры из разряда десяток, мы приплюсуем дополнительную $1$:

$5 \text{ десятков } + 7 \text { десятков } = 12 \text{десятков}$;

$12 \text{ десятков } + 1 \text{ десяток } = 13 \text{ десятков}$;

$13 \text{ десятков } = 1 \text{ сотня } + 3 \text{ десятка}$.

Цифру $3$ записываем в разряд десятков (таблица 2), а к разряду сотен приплюсуем $1$.

Подобным же образом (таблица 3) складываем цифры из разряда сотен с учетом добавляемой единицы: $6+3+1=10$. Записываем $0$ в разряд сотен (таблица 3), а $1$ в разряд тысяч.

В разряд тысяч добавилась $1$ (таблица 4). Складываем, добавив $1$, цифры по столбцу тысяч $9+2+1=12$. В разряд тысяч записываем цифру $2$, а цифра $1$ перешла в разряд десятитысячных (таблица 4).

По таблице 4 можем записать ответ.

Выписываем в ответ нижние цифры в каждом разряде:$9654+2378=12032$.

Такая запись вычислений не очень удобна. Проделав пошагово сложение, мы увидели, что при сложении цифр из какого-то разряда может получиться двузначное число, причем при сложении двух чисел в нем первая цифра $1$.

Если записывать в складываемых числах разряды строго друг под другом, то, вычисляя сумму из столбца, стоящего левее, можно эту $1$ сразу приплюсовать. Столбцы, к цифрам которого нужно приплюсовать $1$, можно отмечать, например, точкой.

Такая схема называется вычислением «в столбик».

Выполним таким образом сложение чисел $9654$ и  $2378$ в таблице 5.

Таблица 5

Записываем числа $9654$ и $2378$ в столбцах таким образом, чтобы цифры их единиц, десятков, сотен и тысяч были расположены в столбцах друг под другом.

Начинаем с правого столбца и выполняем вычисления справа-налево, то есть от разряда единиц до старшего разряда.

Складываем единицы: $4+8=12$.

Цифру $2$ заносим в разряд единиц результата, а число десятков будем на $1$ увеличивать. Чтобы это пометить, поставим точку в нижней строке столбца десятков (табл. 5).

Складываем десятки: $5+7=12$, добавляем $1$, перешедшую из разряда единиц: $12+1=13$.

Цифру $3$ заносим в разряд десятков результата, а сумму, которая получится при сложении цифр столбца, стоящего левее (то есть столбца сотен), на $1$ увеличим, помечаем точкой столбец сотен (табл. 5).

Складываем сотни: $6+3=9$, добавляем $1$, перешедшую из правого столбца (разряда десятков):$9+1=10$.

Цифру $0$ заносим в разряд сотен результата, а сумму, цифр столбца, стоящего левее (то есть столбца десятков тысяч) на $1$ увеличим, помечаем столбец тысяч точкой (табл. 5).

Складываем тысячи: $9+2=11$, добавляем $1$, перешедшую из правого столбца (разряда десятков): $11+1=12$.

Цифру $2$ заносим в разряд тысяч результата, а цифру $1$ в столбец десятков тысяч.

В результате в последней строке таблицы 5 мы получили вычисляемую сумму: $9654+2378=12032$.

Ответ:

12032.

При вычитании «столбиком», сначала записывается уменьшаемое. Под уменьшаемым располагается вычитаемое. Причем делается это так, что цифры оказываются одна под другой, начиная справа. Слева от записанных чисел ставится знак минус, а внизу проводится горизонтальная линия, под которой будет записан результат после проведения необходимых действий.

...

Пример 10.

Для нумерации страниц в сборнике «Задачи на смекалку» потребовалось $568$ цифр. Какой номер имеет последняя пронумерованная страница, если первая пронумерованная страница имеет номер $3$?

Решение:

Выписываем номера страниц, начиная с $3$, и считаем количество составляющих эти номера цифр.

Однозначные: $3,4,5,6,7,8,9$,

Двухзначные:
$10,11,12,13,14,15,16,17,18,19$,

$20,21,...,29$,

$30,...,39$,

$90,91,92,...,99$

Трехзначные:

$100,101,102,103,104,105,106,107,108,109$

$110,111...,119$,

...

$190,191, ..., 199$,

$200, 201, ..., 209$,

$210, 211, 212, ..., 219$,

$220, ..., 229$,

$230, 231, ..., 239$,

$240, 241, 242, 243, 244, 245, 246$.

Считаем число цифр, составляющих номера страниц.

Однозначные: $7$.

Двузначные составлены из двух цифр. В каждом ряду $9$ чисел, содержащих по $2$ цифры, то есть $2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18$ цифр. Рядов $9$, тогда число цифр: $18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 162$.

Число цифр, используемых в двузначных и однозначных номерах, равно сумме $7 + 162 = 169$.

Найдем разность между заданным числом цифр и этим числом: $568 - 169 = 399$.

Для нумерации трехзначного номера используется $3$ цифры, в каждом ряду по $9$ номеров, то есть $3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 27$ цифр.

В первых $10$ рядах (номера от $100$ до $199$) будет $27 + 27 + 27 + 27 + 27 +27 + 27 + 27 + 27 + 27=270$ цифр.

Найдем, сколько еще остается свободных цифр: $399 - 270 = 129$.

Четыре трехзначных ряда (номера с $200$ по $239$) будут содержать $27 + 27 + 27 + 27 = 108$ цифры.

Еще остается $129 - 108 = 21$ цифра. Но $21 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3,$ значит этими цифрами можно пронумеровать $7$ следующих номеров страниц: $240, 241, 242, 243, 244, 245, 246$.

Тогда последняя пронумерованная страница имеет номер $246$.

Ответ:

246.