Элементарная математика. Геометрия.

Задача 289

На отрезке $AB$ лежат точки $C$ и $D$, причём точка $C$ — между точками $A$ и $D$. Точка $M$ взята так, что прямые $AM$ и $MD$ перпендикулярны и прямые $CM$ и $MB$ также перпендикулярны. Найдите площадь треугольника $AMB$, если известно, что величина угла $CMD$ равна $\alpha$, а площади треугольников $AMD$ и $CMB$ равны $S_1$ и $S_2$ соответственно.

Решение:

Обозначим:
$AM = x, CM = y, DM = z, BM = t, S_{\triangle AMB} = S$.
Тогда:
$S_{\triangle AMD}=\frac{1}{2}x\,z=S_{1},$
$S_{\triangle CMB}=\frac{1}{2}y\,t=S_{2}.$
Перемножив эти два уравнения, а еще домножим на 4 и получим:
$x\,t\,y\,z = 4S_{1}S_{2}.$         (*)
Для треугольника $CMD$ имеем
$S_{\triangle CMD}=\frac{1}{2}y\,z\sin\alpha.$
Выразим площадь треугольника $AMB$ следующим образом
$S_{\triangle AMB}= S=S_1 + S_2 - S_{\triangle CMD} ,$
или
$S = \frac{1}{2}xt\sin{\angle AMB}$.
Так как угол $\angle AMB$ образуется углами $\angle AMD$ и $\angle CMB$ которые равны по $90^\circ$ за вычетом угла $\alpha$, то можем расписать:
$S = \frac{1}{2}x\,t\sin{(180^\circ-\alpha)} = \frac{1}{2}x\,t\sin{\alpha}.$
Рассмотрим систему уравнений:
$\left\{\begin{array}{l}x\,t\,y\,z = 4S_{1}S_{2},\\ S_{1} + S_{2}- \frac{1}{2}y\,z\sin{\alpha} = \frac{1}{2}x\,t\sin{\alpha},\end{array}\right.$
Из этой системы находим, что:
$x\,t = \displaystyle {\frac{S_{1}+ S_{2} \pm \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin ^{2}\alpha}}{\sin{\alpha}}}.$
Поэтому
$S=\frac{1}{2}x\,t\sin \alpha=\frac{1}{2}\left ( S_{1}+S_{2}\pm \sqrt{(S_{1}+S_{2})^2-4S_{1}S_{2}\sin^2\alpha}\right ).$
Поскольку $S > S_1$ и $S > S_2$, то $S > \frac{S_1 + S_2}{2}$.
Следовательно, условию задачи удовлетворяет только значение
$S=\frac{1}{2}\left (S_1+S_2+\sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}-4S_{1}S_{2}\sin^{2}{\alpha}}\right )$.

Ответ:

$\frac{1}{2}\left (S_1+S_2+\sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}-4S_{1}S_{2}\sin^{2}{\alpha}}\right )$.