Элементарная математика. Геометрия.

Задача 307

В окружность радиуса $R$ вписана трапеция. Прямые, проходящие через концы одного основания параллельно боковым сторонам, пересекаются в центре окружности. Боковая сторона видна из центра под углом $\alpha$. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Очевидно, что возможны два случая расположения трапеции:
1) центр круга лежит вне трапеции;
2) центр круга лежит внутри трапеции.

Прямые же, проходящие через концы одного основания параллельно боковым сторонам, могут идти либо из верхнего, либо из нижнего основания. Однако, если центр круга лежит внутри трапеции, то они не могут идти из нижнего основания.

Рассмотрим 1-ый случай, когда центр круга лежит вне трапеции, а $DA$ и $FA$ выходят из верхнего основания трапеции:

Очевидно, что в этом случае $S_{EDFG} = S_{AED} + S_{DAF} + S_{FAG} - S_{AEG}$.
$DA||FG$ и $FA||DE$, а $DA$ с $FA$ выходят из верхнего основания трапеции. Тогда $\angle DAF = \angle AFG$.

Так как $\triangle FAG$ — равнобедренный, то $\angle FAG = \alpha, AF = AG = R$, $\angle AFG = \angle FGA = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}=\angle DAF$.

Очевидно, что $\angle EAG = \angle EAD + \angle DAF + \angle FAG = \alpha + 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2} + \alpha = 90^\circ + \dfrac{3\alpha}{2}$.
В связи с тем, что в этом случае центр окружности лежит вне трапеции, то $\angle EAG = 90^\circ + \dfrac{3\alpha}{2} < 180^\circ$, откуда следует, что $\alpha < 60^\circ$.

На основании этого можно вычислить площади треугольников:
$S_{AED} = S_{FAG} = \dfrac{1}{2}R^2\sin \angle EAD = \dfrac{1}{2}R^2\sin \alpha$,
$S_{DAF} = \dfrac{1}{2} R^2\sin \angle DAF = \dfrac{1}{2} R^2\sin \left(90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\right) =\dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{\alpha}{2}$,
$S_{AEG}= \dfrac{1}{2} R^2\sin \angle EAG = \dfrac{1}{2} R^2\sin \left(90^\circ + \dfrac{3\alpha}{2}\right)=\dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{3\alpha}{2}$.

Тогда площадь трапеции равна:
$S_{EDFG} = S_{AED} + S_{DAF} + S_{FAG} - S_{AEG} = R^2\sin \alpha + \dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{\alpha}{2} - \dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{3\alpha}{2} =$ $R^2 \left(\sin \alpha + \sin \dfrac{\alpha}{2} \sin \alpha\right) = R^2 \sin \alpha\left(1 + \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)$.

Пусть теперь $DA$ и $FA$ выходят из нижнего основания трапеции:

Тогда $S_{EDFG} = S_{AED} + S_{AEG} + S_{FAG} - S_{DAF}$, а $\angle DEA= \angle EAF$, так как $DE$ параллельно $AF$.
$\angle DAE = \angle FAG = \alpha$.

Так как $\triangle DEA$ — равнобедренный, то $\angle DAE = \alpha, DA = EA = R$. $\angle ADE = \angle DEA = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}=\angle EAF$.
$\angle EAG = \angle EAF - \angle FAG = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2} - \alpha = 90^\circ - \dfrac{3\alpha}{2}$.
$\angle DAF = \angle DAE + \angle EAG + \angle FAG = \alpha + 90^\circ - \dfrac{3 \alpha}{2} + \alpha = 90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$.
В этом случае центр окружности также лежит вне трапеции, поэтому $\angle EAG = 90^\circ - \dfrac{3\alpha}{2} > 0$, откуда следует, что $\alpha < 60^\circ$.

На основании этого можно вычислить площади треугольников:
$S_{AED} = S_{FAG} = \dfrac{1}{2}R^2\sin \angle EAD = \dfrac{1}{2}R^2\sin \alpha$,
$S_{DAF} = \dfrac{1}{2} R^2\sin \angle DAF = \dfrac{1}{2} R^2\sin \left(90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}\right) =\dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{\alpha}{2}$,
$S_{AEG}= \dfrac{1}{2} R^2\sin \angle EAG = \dfrac{1}{2} R^2\sin \left(90^\circ - \dfrac{3\alpha}{2}\right)=\dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{3\alpha}{2}$.

Тогда площадь трапеции равна:
$S_{EDFG} = S_{AED} + S_{EAG} + S_{FAG} - S_{DAF} = R^2\sin \alpha - \dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{3\alpha}{2} =$ $R^2 \left(\sin \alpha - \sin \dfrac{\alpha}{2} \sin \alpha\right) = R^2 \sin \alpha\left(1 - \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)$.

Рассмотрим 2-ой случай.

Очевидно, что $S_{EDFG} = S_{AED} + S_{DAF} + S_{FAG} + S_{AEG}$.

Так как $\triangle FAG$ — равнобедренный, то $\angle FAG = \alpha, AF = AG = R$. $\angle AFG = \angle FGA = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$.
Заметим, что $FG || AD,$ а $FA$ — секущая. Следовательно, $\angle AFG = \angle DAF = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$, $\angle EAG = 360^\circ - 2\angle FAG - \angle DAF = 360^\circ - 2\alpha - 90^\circ + \dfrac{\alpha}{2} = 270^\circ - \dfrac{3\alpha}{2}$.
Так как центр окружности лежит внутри трапеции, то $0^\circ < \angle EAG \le 180^\circ$, то есть $0^\circ < 270^\circ - \dfrac{3\alpha}{2} \le 180^\circ$, откуда $60^\circ \le \alpha < 180^\circ$.

Теперь вычислим площади треугольников:
$S_{AED} = S_{FAG} = \dfrac{1}{2}R^2\sin \angle EAD = \dfrac{1}{2}R^2\sin \alpha$,
$S_{DAF} = \dfrac{1}{2}R^2\sin \angle DAF = \dfrac{1}{2}R^2\sin \left(90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\right) =\dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{\alpha}{2}$,
$S_{EAG} = \dfrac{1}{2}R^2\sin \angle EAG = \dfrac{1}{2}R^2\sin \left(270^\circ - \dfrac{3\alpha}{2}\right) =-\dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{3\alpha}{2}$.

Тогда площадь трапеции равна:
$S_{EDFG} = S_{AED} + S_{DAF} + S_{FAG} + S_{AEG} = R^2\sin \alpha +$ $\dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{\alpha}{2} -\dfrac{1}{2} R^2\cos \dfrac{3\alpha}{2} = R^2 \sin \alpha\left(1 + \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)$.