Элементарная математика. Геометрия.

Задача 314

В равностороннем треугольнике $ABC$ сторона равна $a$. На стороне $BC$ лежит точка $D$, на стороне $AB$ — точка $E$ так, что $BD = \frac{a}{3}, AE = DE$. Найдите $CE$.

Решение: 

Обозначим $CE = x$, $AE = DE = b$. Тогда $BE = a - b$.
По теореме косинусов для треугольника $EBD$:
$ED^2=BE^2+BD^2-2BE\cdot BD\cos 60^{\circ}=BE^2+BD^2-BE\cdot D$
или
$b^2=(a-b)^2+\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{3}a(a-b)=a^2-2ab+b^2+\frac{1}{9}a^2$ $-\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{3}ab$,
откуда $AE=b=\frac{7}{15}a$.
Из треугольника $AEC$ по теореме косинусов находим, что
$CE^2=AE^2+AC^2-2AE\cdot AC\cos 60^{\circ}$
или
$x^2= b^2+a^2-ab=\frac{169}{225}a^2$.
Следовательно, $CE=x=\frac{13}{15}a$.

Ответ:

 $CE=\frac{13}{15}a$.