Элементарная математика. Геометрия.

Задача 316

В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если известны длина $a$ одного из оснований и отрезки $b$ и $d$, на которые разделена точкой касания одна из боковых сторон (отрезок $b$ примыкает к данному основанию $a$).

Решение:
1)  В трапецию можно вписать окружность в том случае, если суммы её противоположных сторон равны. То есть $BC + AD = BA + CD$. На рисунке точки касания окружности и трапеции: $E, M, K, N$. Тогда $EB=BM, MC=CK, KD=DN, NA=AE$. 

2)  $\triangle ABO$ — прямоугольный. Угол $\angle BOA = 90^{\circ}$, т.к. биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Так как $BO$ — биссектриса $\angle ABC$, то тогда $\angle ABO=\frac{1}{2}\angle ABC$. Аналогично, $AO$ — биссектриса $\angle BAD$, то тогда $\angle BAO=\frac{1}{2}\angle BAD$. Следовательно,  $\angle ABO+\angle BAO=\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle BAD)=90^\circ$. По теореме о сумме углов треугольника, $\angle ABO+\angle BAO+\angle BOA=180^{\circ}$, отсюда, $90^{\circ}+\angle BOA=180^{\circ}$. Из вышесказанного, можно сделать вывод, что $\angle BOA=90^{\circ}$, а значит и $\triangle ABO$ — прямоугольный.

3) Аналогично для $\triangle COD$, где  $\angle COD=90^{\circ}$.

4)  Высота, проведенная из вершины прямого угла в $\triangle ABO$ совпадает с радиусом окружности  и для нее справедлива формула среднего геометрического $EO =\sqrt{EB\cdot EA}$. Следовательно радиус вписанной окружности равен $r =\sqrt{b\cdot d}$.

5)  Очевидно, что высота трапеции $h = 2r = 2\sqrt{b\cdot d}$.

6)  Из $\triangle COD$ имеем: $r =\sqrt{(a-b)\cdot x}$. Значит $x = \frac{b\cdot d}{a-b}$.

7)  Тогда нижнее основание трапеции $AD=d+x=d+\frac{b\cdot d}{a-b}=\frac{а\cdot d}{a-b}$.

8)  Площадь трапеции $S=\frac{1}{2}\cdot(BC+AD)\cdot h=\frac{a+{\frac{a\cdot d}{a -b}}}{2}$ $\cdot 2 \sqrt{b \cdot d}=\frac {a^2 -a \cdot b + a \cdot d}{a - b}\cdot \sqrt{b \cdot d}$.

Ответ: 

$\frac {a^2 -a \cdot b + a \cdot d}{a - b}\cdot \sqrt{b \cdot d}$