Элементарная математика. Геометрия.

Задача 317

В трапеции диагонали равны $3$ и $5$, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен $2$. Найдите площадь трапеции.

Решение:
Трапеция $ABCD$. $AC=3$ и $BD=5$. Пусть $K$ и $M$ середины оснований $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$, тогда по условию $KM=2$.
Через вершину $C$ меньшего основания $BC$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с прямой $AD$ в точке $P$ и прямую, параллельную $MK$, до пересечения с прямой $AD$ в точке $Q$.
Тогда $AQ=AK+KQ=AK+MC=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BC$ $=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(AD+DP)$.
Поэтому $CQ$ — медиана треугольника $ACP$, $CQ=MK=2$, $AC=3$, $CP=BD=5$, $S_{ABCD}=S_{\triangle ACP}$.
На продолжении медианы $CQ$ за точку $Q$ отложим отрезок $QF$, равный $CQ$. Достроим $\triangle CFP$.
Достроим отрезок $AF$. Так как $Q$ середина отрезков $CF$ и $AP$, получим, что $ACPF$ — параллелограмм, тогда $FP=AC=3$.
Стороны треугольника $CFP$ равны: $CF=2CQ=4$, $CP=BD=5$, $FP=AC=3$.
Этот треугольник прямоугольный $(CP^2=CF^2+PF^2)$. Поэтому $S_{\triangle CFP}=\frac{1}{2}CF·PF=6$.
Так как каждая из диагоналей $AP$ и $CF$ параллелограмма $ACPF$ делит его на два равных треугольника ($\triangle ACP = \triangle AFP$ и $\triangle ACF = \triangle PCF$), следовательно $S_{\triangle ACP} = S_{\triangle FPC}$.
Значит, $S_{ABCD}=S_{\triangle ACP}=S_{\triangle PCF}=6$.

Ответ:

$6$.