Элементарная математика. Геометрия.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, $K$ — её точка касания со стороной $AB$. Тогда $\text{tg}\frac{\angle B}{2}=\frac{\sin \angle B}{1+\cos \angle B}=\frac{0.6}{1+0.8}=\frac{1}{3}$. Поэтому $OK = BK \text{tg} \frac{\angle B}{2}$ и $BK = 3$. 
Из условия следует, что высота $BE$ к стороне $AC$ равна двум диаметрам вписанной окружности, то есть равна $4$.
Площадь $\triangle ABC$ равна $p r$, где $p$ — полупериметр $\triangle ABC$.
С другой стороны, площадь $\triangle ABC$ равна $\frac{1}{2} BE \cdot AC$. Запишем равенство $\frac{1}{2}(CH+AH+AK+BK+BM+MC) r=\frac{1}{2}BE\cdot AC$.
Пусть $MC = CH = x$, $AK = AH = y$. Тогда $3 + x + y = 2(x + y)$ или $x + y = 3$. Окончательно получим $AC = AH + CH = x + y = 3$.