Элементарная математика. Геометрия.

Задача 319

Дан правильный треугольник $ABC$ площади $S$. Параллельно его сторонам на равном расстоянии от них проведены три прямые, пересекающиеся внутри треугольника и образующие в пересечении треугольник $A_1B_1C_1$ площади $Q$. Найдите расстояние между параллельными сторонами треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Решение:

Треугольник $ABC$ правильный, тогда обозначим его сторону $a=AC=AB=BC$ и его площадь будет $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, отсюда выразим $a=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$.

По построению треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$. Следовательно он также будет равносторонним со  стороной $c = \sqrt{\frac{4Q}{\sqrt{3}}}$.

Проведём в треугольнике $ABC$ биссектрисы, которые будут высотами и медианами. Точка пересечения биссектрис будет центром вписанной окружности $O$ с радиусом $R$. Биссектрисы, медианы и высоты треугольника $A_1B_1C_1$ лежат на соответствующих биссектрисах треугольника $ABC$. Точка пересечения этих биссектрис будет совпадать с точкой $O$. Построим в треугольнике $A_1B_1C_1$ вписанную окружность с радиусом $r$ и центром в точке $O$. 

Пусть $OH=R$ и $H\in AC$ и $OH_1=r$ и $H_1\in A_1C_1$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний и его сторона равна $a$, получим что радиус вписанной окружности $R=OH=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{S}{3\sqrt{3}}}$. А в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ со стороной $c$ получаем радиус вписанной окружности $r=OH_1=\frac{c}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{\frac{4Q}{\sqrt{3}}}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{Q}{3\sqrt{3}}}$.

Получаем, что расстояние между параллельными сторонами треугольников будет
$h=OH-OH_1=R-r=\sqrt{\frac{S}{3\sqrt{3}}}-\sqrt{\frac{Q}{3\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{3}(\sqrt{S}-\sqrt{Q})$,
если параллельная прямая лежит между $O$ и стороной треугольника $ABC$, которой она параллельна.
А если параллельная прямая лежит между точкой $O$ и вершиной треугольника $ABC$, не принадлежащей прямой, которой она параллельна, то расстояние $h=OH+OH_1=R+r=\sqrt{\frac{S}{3\sqrt{3}}} + \sqrt{\frac{Q}{3\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{3}(\sqrt{S} + \sqrt{Q})$.

Ответ: 

$h=\frac{\sqrt[4]{3}}{3}(\sqrt{S} \pm \sqrt{Q})$.