Элементарная математика. Геометрия.

Задача 320

Стороны $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны и являются диаметрами двух равных касающихся окружностей радиуса $r$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, если $BC:AD$ = $k$.

Решение:
Пусть $E$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.  $O_{1}$ и $O_{2}$ — центры окружностей(середины отрезков $AB$ и $CD$). Точки $B$ и $C$ принадлежат отрезкам $AE$ и $ED$. Обозначим $EO_1=x, EO_2=y$.  По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $EO_1O_2$, $EAD$:
$x^2+y^2=4r^2$ и $(x+r)^2+(y+r)^2=AD^2=(k\cdot BC)^2=k^2((x-r)^2+(y-r)^2)$.
Последнее равенство запишем в виде
$x^2+y^2+2r^2+2r(x+y)=k^2(x^2+y^2+2r^2-2r(x+y))$.
Перенесём  $2r(x+y)$ в левую часть, а $x^2+y^2+2r^2$ в правую часть, получим
$2r(x+y)(1+k^2)=(k^2-1)(x^2+y^2+2r^2)=6r^2(k^2-1)$.
Очевидно, что
$2S_{ABCD}=2S_{AED}-2S_{EBC}=(x+r)(y+r)-(x-r)(y-r)=2(x+y)r=$ $6r^2\frac{k^2-1}{1+k^2}$.

Следовательно,  $S_{ABCD}=3r^2\frac{k^2-1}{1+k^2}$.
Так как в условии не сказано коэффициент $k$ больше или меньше $1$, то:
$S_{ABCD}=3r^2\frac{|k^2-1|}{1+k^2}$.

Ответ:

$3r^2\frac{|k^2-1|}{1+k^2}$.