Элементарная математика. Геометрия.

Задача 321

В угол, величина которого $\alpha$, вписаны две касающиеся друг друга окружности. Определите отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающиеся первых двух и одной из сторон угла.

Решение:

1) Пусть угол $E$ равен $\alpha$. Обозначим радиусы вписанных в угол окружностей $O_1A$, $O_2B$, $O_3C$  как $r_1$, $r_2$, $r_3$ соответственно. Построим отрезки $DM$(проходит через точку $O_3$) и $O_1H$ параллельно $AB$ . Очевидно, что $ABMD$ и $ABHO_1$ — прямоугольники, а  $\triangle O_1HO_2$, $\triangle DO_3O_1$  и $\triangle MO_3O_2$ — прямоугольные. 

2) По теореме Пифагора для $\triangle DO_3O_1$  и $\triangle MO_3O_2$ получим

$O_3D =\sqrt{{O_1O_3}^2 - {O_1D}^2} = \sqrt{ (r_1 + r_3)^2 - (r_1 - r_3)^2} = \sqrt{(r_1 + r_3 - r_1 + r_3)(r_1 + r_3 + r_1 - r_3)} =\sqrt{4r_1r_3} = 2\sqrt{r_1r_3}$.

$O_3M =\sqrt{{O_2O_3}^2 - {O_2M}^2} = \sqrt{(r_2 + r_3)^2 - (r_2 - r_3)^2} = \sqrt{(r_2 + r_3 - r_2 + r_3)(r_2 + r_3 + r_2 - r_3)} =\sqrt{4r_2r_3} = 2\sqrt{r_2r_3}$.

3) Заметим, что $AB = MD = O_3D + O_3M = 2\sqrt{r_1r_3} + 2\sqrt{r_2r_3} = 2\sqrt{r_3}(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})$.

4) По теореме Пифагора для $\triangle O_1HO_2$ найдем

$O_1H = \sqrt{(r_1 + r_2)^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{(r_1 + r_2 - r_1 + r_2)(r_1 + r_2 + r_1 - r_2)} = 2\sqrt{r_1r_2}$.

5) Равенство $O_1H = AB$ перепишем в виде $2\sqrt{r_3}(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}) = 2\sqrt{r_1r_2}$ и возведем обе части в квадрат: 

$4r_3(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})^2 = 4r_1r_2$. 

Выразим отсюда отношение $\frac{r_1}{r_3}$:

$\frac{r_1}{r_3} = \frac{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})^2}{r_2} = (\frac{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}{\sqrt{r_2}})^2 =  (\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} + 1)^2$.

6) Так как прямая, проведенная через вершину угла и центр вписанной окружности, является биссектрисой, то $\angle AEO_1 = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle AEO_1 = \angle HO_1O_2$. 

7) Очевидно, что $\sin{\angle HO_1O_2} = \sin{\frac{\alpha}{2}} =  \frac{r_2 - r_1}{r_2 + r_1}$. Вынесем за скобки $r_2$ и получим: 

$\sin{\frac{\alpha}{2}} =  \frac{r_2(1 -  \frac{r_1}{r_2})}{r_2(1 + \frac{r_1}{r_2})} = \frac{1 -  \frac{r_1}{r_2}}{1 + \frac{r_1}{r_2}}$. 

Пусть $x = \frac{r_1}{r_2}$, тогда $\sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - x}{1 + x}$. Отсюда выразим $x$:

$\sin{\frac{\alpha}{2}} + x\sin{\frac{\alpha}{2}} = 1 - x$.

$x\sin{\frac{\alpha}{2}} + x = 1 - \sin{\frac{\alpha}{2}}$.

$x = \frac{1 - \sin{\frac{\alpha}{2}}}{1 + \sin{\frac{\alpha}{2}}}$.

8) Подставим вместо $\frac{r_1}{r_2}$ найденный $x$: 

 $\frac{r_1}{r_3} = \left (\sqrt{\frac{1 - \sin{\frac{\alpha}{2}}}{1 + \sin{\frac{\alpha}{2}}}} + 1\right )^2$.

Ответ:

 $\frac{r_1}{r_3} = (\sqrt{\frac{1 - \sin{\frac{\alpha}{2}}}{1 + \sin{\frac{\alpha}{2}}}} + 1)^2$.