Элементарная математика. Геометрия.

Задача 322

В треугольнике $ABC$ на средней линии $DE$, параллельной $AB$,  как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$. Найдите $MN$, если $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Решение:

На рисунке видно, что $\triangle DNE$ и $\triangle DEM$  вписаны в окружность, а их общая сторона $DE$ — диаметр окружности. Значит эти треугольники — прямоугольные. Катеты $\triangle DNE$ и $\triangle DEM$ — $DN$ и $EM$ являются высотами $\triangle DEC$. Очевидно, что
$\cos{\angle C} = \frac{MC}{EC} = \frac{NC}{DC}$
и, следовательно, $MC = EC \cdot {\cos{\angle C}}, NC = DC \cdot {\cos{\angle C}}$.

Из выражения для $\cos{\angle C}$ замечаем, что $\frac{NC}{MC}=\frac{DC}{EC}$. А это значит, что $\triangle CMN$ подобен $\triangle CED$ (с коэффициентом подобия $\cos{\angle C}$) по общему $\angle C$ и двум пропорциональным сторонам.
Запишем теорему косинусов для $\triangle ABC$

$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos{\angle C}$.

Отсюда получим, что $\cos{\angle C} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

Сторона $ED$ равняется половине стороны $AB$, то есть $\frac{c}{2}$. Следовательно, $MN = DE\cos{\angle C}= \frac{c}{2}\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

 Ответ:

$\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{4ab}$.