Элементарная математика. Геометрия.

Задача 323

Расстояние между центрами двух окружностей равно $a$. Найдите сторону ромба, две противоположные вершины которого лежат на одной окружности, а две оставшиеся — на другой, если радиусы этих окружностей равны $R$ и $r$.

Решение:

Пусть $ABCD$ — ромб, сторону которого мы должны найти, $O_1$ — центр первой окружности с радиусом $r$, $O_2$ — центр второй окружности с радиусом $R$. По условию $O_1B = r; O_2C = R; O_1O_2 = a$.

Рассмотрим $\vartriangle BCO$. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то $\vartriangle BCO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора из $\vartriangle BCO$ получим:
$BC^2 = OB^2 + CO^2$. (*)

Рассмотрим прямоугольный $\vartriangle BOO{_1}$. По теореме Пифагора
${BO_1}^2 = OO{_1}^2 + OB^2 \Rightarrow OB^2 = BO{_1}^2 - OO{_1}^2$.

Аналогично, из $\vartriangle COO_{2}$ по теореме Пифагора
$CO{_2}^2 = OO{_2}^2 + OC^2 \Rightarrow OC^2 = CO{_2}^2 - OO{_2}^2$.

Подставив квадраты сторон в (*), получим:
$BC ^2 = BO{_1}^2 - OO{_1} ^2 + CO{_2} ^2 - OO{_2} ^2 = r^2 + R^2 - (OO{_1}^2 + OO{_2}^2)$.

Для прямоугольного $\vartriangle OO{_1}O{_2}$ запишем теорему Пифагора:
$OO{_1}^2 + OO{_2}^2 = O_1O{_2}^2 = a^2$.
Следовательно
$BC= \sqrt{r^2 + R^2 - a^2}$.

Ответ:

$\sqrt{r^2 + R^2 - a^2}$.