Элементарная математика. Геометрия.

Задача 324

Найдите площадь ромба $ABCD$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, равны $R$ и $r$.

Решение:

Пусть $\angle C =2\alpha$.

Заметим также, что диагонали ромба являются одновременно и биссектрисами его углов.

По теореме синусов, примененной для треугольников $ABC$ и $ABD$, имеем для общей стороны $AB = 2r\sin{\alpha} = 2R\sin{(90^{\circ} - \alpha)}=2R\cos{\alpha}$. Выразим отсюда синус и косинус для нахождения тангенса, получим: $\text{tg}{\alpha} = \dfrac{r}{R}$.

Далее найдем диагонали ромба: $BD$ и $AC$.

По теореме синусов для треугольников $ABD$  и $ABC$ имеем: $BD=2r\sin{2\alpha}$ , $AC=2R\sin{(180^\circ -2\alpha)}$, а $\sin{2\alpha}$ можно найти следующим образом: $\sin{2\alpha}=\dfrac{2\text{tg}{\alpha}}{1 + \text{tg}^2{\alpha}}=\dfrac{2rR}{(R^2 + r^2)^2}$.

Площадь ромба, по известной формуле, равняется половине произведения диагоналей: $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}DB\cdot AC=2rR\sin^2{(2\alpha)}=2Rr\cdot\left(\dfrac{2rR}{R^2+r^2}\right)^2=\dfrac{8r^3 R^3}{(r^2+R^2)^2}$.

Ответ:

$\frac{8r^3 R^3}{(r^2+R^2)^2}$.