Элементарная математика. Геометрия.

Задача 1

Даны угол величины $\alpha$‎ с вершиной в $A$ и точка $B$ на расстоянии $a$ и $b$ от сторон угла. Найдите $AB$.

Решение:

Пусть $C$ – точка пересечения перпендикуляра из точки $B$ с лучом угла $\alpha$, удаленному на расстояние $a$, $D$ – точка пересечения перпендикуляра из точки $B$ с лучом угла $\alpha$, удаленному на расстояние $b$. Рассмотрим несоколько случаев:

Случай 1 (точка $B$ находится внутри угла).
Используем формулу синуса разности углов:
$\sin{\angle BAD}=\sin{(\alpha - \angle CAB)}=\sin\alpha \cdot\cos{\angle CAB}-\cos\alpha \cdot\sin{\angle CAB}$.
Подставим синусы и косинусы по определению:
$\frac{b}{AB}=\sin{\alpha\frac{CA}{AB}}-\cos{\alpha\frac{a}{AB}}$.
Выразим сторону $CA$:
$CA=\frac{b+a\cdot\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$.
По теореме Пифагора:
$AB^2=a^2+AC^2=a^2+(\frac{b+a\cdot\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}})^2=\frac{b^2 +2ab\cos{\alpha}+a^2\sin^2{\alpha}+a^2\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}=\frac{b^2 +2ab\cos{\alpha}+a^2}{\sin^2{\alpha}}$,
$AB=\frac{\sqrt{b^2 +2ab\cos{\alpha}+a^2}}{\sin{\alpha}}$.  

Случай 2 (точка находится внутри вертикального угла).
Продлим стороны угла за точку $A$. Угол, вертикальный к $\alpha$, равен ему. Таким образом, данный случай сводится к первому.  

Случай 3 (точка $B$ находится в других местах).
Используем формулу синуса суммы углов:
$\sin{\angle BAD}=\sin{(\alpha + \angle BAC)}=\sin{\alpha} \cdot\cos{\angle BAC}+\cos{\alpha} \cdot\sin{\angle BAC}$.
Подставим синусы и косинусы по определению:
$\frac{b}{AB}=\sin{\alpha}\frac{CA}{AB}+\cos{\alpha}\frac{a}{AB}$.
Выразим сторону $CA$:
$CA=\frac{b-a\cdot\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$.
По теореме Пифагора:
$AB^2=a^2+AC^2=a^2+(\frac{b-a\cdot\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}})^2=\frac{b^2 -2ab\cos{\alpha}+a^2\sin^2{\alpha}+a^2\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}=\frac{b^2 -2ab\cos{\alpha}+a^2}{\sin^2{\alpha}}$,
$AB=\frac{\sqrt{b^2 -2ab\cos{\alpha+a^2}}}{\sin{\alpha}}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{b^2 +2ab\cos{\alpha}+a^2}}{\sin{\alpha}}$, когда точка находится внутри угла или вертикального к нему;
 $\frac{\sqrt{b^2 -2ab\cos{\alpha}+a^2}}{\sin{\alpha}}$ в других случаях расположения точки.