Элементарная математика. Геометрия.

Задача 326

Даны $h_a$ и $h_b$ — высоты треугольника $ABC$, опущенные из вершин $A$ и $B$, и длина $l$ биссектрисы угла $C$. Найдите угол $C$. 

Решение:

Пусть $CM$ — биссектриса и $AN=h_a, BK=h_b$  — высоты треугольника $ABC$.

Очевидно, что $AB= AM+ MB.$

Т.к. отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону, равно отношению прилежащих к этим отрезкам сторон треугольника, то:

$\frac{AM}{MB} = \frac{CA}{CB}.$

Представим $AM$ как разность $AB$ и $MB$ и подставим в последнее отношение, получим:

$\frac{AB-MB}{MB} = \frac{CA}{CB}$.

Отсюда следует:

$\frac{AB}{MB} + 1 = \frac{CA}{CB}$

и

$\frac{AB}{MB} = \frac{CA}{CB} + 1$.

Из этого отношения следует, что:

$MB = \frac{AB}{1+\frac{CA}{CB}}.$

Из формулы площади треугольника $ABC$ через половину высоты на основание получаем

$CA= 2 \frac{S}{h_b}$ и $CB= 2 \frac{S}{h_a},$ 

где $S$ — площадь треугольника $ABC$.

Тогда

$\frac{CA}{CB} = \frac{h_a}{h_b}$ и $MB= \frac{AB}{1 + \frac{h_a}{h_b}}.$

Опустим перпендикуляр  $MP$ на сторону $CB$.

Из подобия прямоугольных треугольников $PMB$ и $ANB$ следует, что:

$\frac{MP}{AN} = \frac{MB}{AB}.$

Отсюда:

$MP = \frac{AN \cdot MB}{AB} = \frac{AN \cdot  AB}{(1+\frac{h_a}{h_b})AB} = \frac{AN}{1+\frac{h_a}{h_b}}$.

Т.к. $AN = h_a$, то:

$MP = \frac{h_a}{1+\frac{h_a}{h_b}} = \frac{h_a h_b}{h_a + h_b}.$

Тогда:

$\sin\frac{C}{2} = \frac{MP}{CM} = \frac{h_a h_b}{l(h_a + h_b)},$

$\angle C = 2 \arcsin \frac{MP}{CM} =  2 \arcsin \frac{h_a h_b}{l(h_a + h_b)}$.

Ответ:

$2 \arcsin \frac{h_a h_b}{l(h_a + h_b)}$.