ЭМГеометрия: Задача 327

Задача 327

Около прямоугольного треугольника описана окружность. Другая окружность того же радиуса касается катетов этого треугольника, причём одной из точек касания является вершина треугольника. Найдите отношение площади треугольника к площади общей части двух данных кругов.

Решение:

Пусть $KDE$ — заданный прямоугольный треугольник. $F$ — центр окружности, описанной около треугольника $KDE$ . $A$ — центр окружности касающийся прямоугольного треугольника $KDE$ в точках $K$ и $P$ .

Рассмотрим многоугольник $DKAP$
$DKAP$ — квадрат, так как $\angle D = 90^{\circ}$ (по условию), $\angle DKA = \angle KAP = 90^{\circ}$ .(По свойству касательных окружности)
Поскольку $K$ и $P$ — точки касания, $AK$ = $AP$ = $R$ , где $R$ — радиус окружности.
Тогда $DK$ = $DP$ = $R$

Далее рассмотрим трегольник $KDE$ .
Гипотенуза $KE$ совпадает с диаметром описанной окружности и равна $2R$ ( По свойству окружности описанной около треугольника).
То есть $KE=2KD$
Отсюда следует, что $\angle KED =30^{\circ}$ и $\angle DKE = 60^{\circ}$ (По свойству прямоугольного треугольника)
Тогда $DE$ = $R \cdot \sqrt3$ .

Рассмотрим далее прямые $DE$ и $AK$
$DE || AK$ ( $\angle D = \angle AKD = 90^{\circ}$ ), значит $\angle KED = \angle EKA = 30^{\circ}$ (Как накрест лежащие углы)
Пусть далее $L$ — точка пересечения окружностей. Соединим центры окружностей с точками $K$ и $L$ . Полученный многоугольник $AKFL$ — ромб (Все стороны равны радиусу).
$\angle KAL$ = $\angle KFL = 180^{\circ} - \angle EKA = 180^{\circ} - 30^{\circ}$ .
Соединим точки $K$ и $L$ . Сектор $KAL$ равен сектору $KFL$ , так как равны углы ( $\angle KAL$ и $\angle KFL$ ), а также равны радиусы двух окружностей.