Элементарная математика. Геометрия.

Задача 329

Около окружности описана трапеция $ABCD$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, $M$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника $CMD$ равна $S$. Найдите радиус окружности.

Решение:
Поскольку треугольники $BAC$ и $BDC$ равновелики, а треугольник $BMC$ — их общая часть, то площадь треугольника $AMB$ также равна $S$.
Пусть $O$ — центр окружности; $R$ — ее радиус; $P$, $F$ и $Q$ — точки касания со сторонами $BC$, $CD$ и $AD$ соответственно; $K$ — проекция точки $M$ на $AB$.
Тогда $CF=CP=BC-BP=BC-R$, а также $DF=DQ=AD-AQ=AD-R$.
Сумма углов $\angle BCD +\angle CDA$, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$.
Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции, следовательно: $\angle OCD +\angle ODC=90^{\circ}$.
Т.к. сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, $\angle COD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
В прямоугольном треугольнике $COD$: $R^2=OF^2=CF\cdot DF=(BC-R)(AD-R)$.
Отсюда находим, что $R=AD\cdot\frac{BC}{AD+BC}$.
С другой стороны, из подобия треугольников $AKM$ и $ABC$ следует, что $KM=BC\cdot\frac{AM}{AC}$, а из подобия треугольников $AMD$ и $CMB$: $MC=\frac{AM\cdot BC}{AD}$ и $\frac{AM}{AC}=\frac{AM}{AM+MC}=\frac{AD}{AD+BC}$.
Поэтому $KM=BC\cdot\frac{AD}{AD+BC}=R$.
Поскольку $AB=2R$, то $S=S_{\triangle AMB}=\frac{1}{2}AB\cdot KM=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot R=R^2$.
Следовательно, $R=\sqrt S$.

Ответ:

$\sqrt S$