Элементарная математика. Геометрия.

Задача S2

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Решение:

Пусть $DO$ — высота правильной пирамиды, Тогда по свойству высоты точка $O$ — центр $\triangle{ABC}$.
Проведем $AO$ до пересечения с $BC$ в точке $K$.  Следовательно $AK$ будет высотой в правильном $\triangle{ABC}$, а $DK$ будет высотой в правильном $\triangle{DBC}$. Значит, плоскость $DAK$ перпендикулярна $BC$ и совершенно очевидно, что $BC\perp AD$.
В силу того, что пирамида правильная, доказательство справедливо для любой пары скрещивающихся ребер.
Значит, $DC\perp AB$ и $AC \perp DB$.
Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано.