Элементарная математика. Геометрия.

Задача 5

Докажите, что площадь проекции многоугольника, расположенного в плоскости $p_1$, на плоскость $p_2$ равна $S \cos{\alpha}$ где $S$ — площадь многоугольника, $\alpha$ — угол между плоскостями $p_1$ и $p_2$. 

Доказательство:

Докажем теорему для треугольника. Поскольку многоугольник разбивается на треугольники, сумма площадей которых есть площадь многоугольника, то и для многоугольника теорема будет верна. 

Пусть треугольник $A_1 B_1 C_1$  — проекция треугольника $ABC$ на проецируемую плоскость.
Докажем, что $S_{A_1 B_1 C_1} = S_{ABC} \cdot \cos{\alpha}$, где $\alpha$ — угол между плоскостями $ABC$, $A_1 B_1 C_1$.
Для этого разобьем треугольник $ABC$ на два треугольника c общей стороной $AM$, параллельной прямой $l$ пересечения плоскостей $ABC$, $A_1 B_1 C_1$.
Проекция треугольника $ABM$ — треугольник $A_1 B_1 M_1$. Причем $AM = A_1 M_1$.
Пусть $BH$ — перпендикуляр к прямой  $l$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах и $B_1 H$ — перпендикуляр к прямой $l$. Стало быть, $\angle B H B_1$ — угол между плоскостями треугольников (проецируемого и проекции).
Пусть $T$ — точка пересечения $BH$ и $AM$, $T_1$ — проекция точки  $T$ на плоскость $A_1 B_1 C_1$. Очевидно, $BT$ — высота треугольника $ABM$ ($B_1 T_1$ — высота треугольника $A_1 B_1 M_1$).
Из треугольника $BH B_1$:

$\cos{\alpha} = \frac{B_1 H}{BH}$.

Но и $\frac{H T_1}{HT} = \cos{\alpha}$.

Тогда $BT=BH-HT=\frac{1}{\cos{\alpha}}(B_1H-HT_1)=\frac{B_1 T_1}{\cos{\alpha}}$.
Имеем $S_{ABM}=\frac{1}{2}BT\cdot AM=\frac{1}{2}\frac{B_1 T_1}{\cos{\alpha}}\cdot AM=\frac{ S_{A_1 B_1 M_1}}{\cos{\alpha}}$.
Аналогичные рассуждения — для пары треугольников $AMC\ и\ A_1 M_1 C_1$:
$S_{AMC}=\frac{1}{2}CR\cdot AM=\frac{1}{2}\frac{C_1 R_1}{\cos{\alpha}}\cdot AM=\frac{ S_{A_1 M_1 C_1}} {\cos{\alpha}}$,
(где $CR$ — высота треугольника $ACM$, $C_1 R_1$ — ее проекция).
Итак, суммируя площади треугольников $ABM,\ ACM$ и $A_1 B_1 M_1,\ A_1 C_1 M_1$ соответственно, получаем:
$S_{ABC} = \frac{S_{A_1 B_1 C_1}}{\cos{\alpha}}$
или
$S_{A_1 B_1 C_1} = S_{ABC} \cdot \cos{\alpha}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано.