Элементарная математика. Геометрия.

Задача 6

Даны три прямые, проходящие через одну точку $A$. Пусть $B_1, B_2$ — две точки на одной прямой, $C_1, C_2$ — на второй, $D_1, D_2$ — на третей. Докажите, что $\dfrac{V_{AB_1C_1D_1}}{V_{AB_2C_2D_2}} = \dfrac{AB_1\cdot AC_1\cdot AD_1}{AB_2\cdot AC_2\cdot AD_2}$.

<

Решение:
Для определенности положим, что все точки находятся по одну сторону от точки $A$.
Проведем перпендикуляры $B_1H_1$ и $B_2H_2$ из точек $B_1$ и $B_2$ к граням $AC_1D_1$ и $AC_2D_2$. Затем из точек $H_1$, $H_2$ проведем перпендикуляры $H_1E_1$, $H_2E_2$ к сторонам $AD_1$ и $AD_2$ соответственно.

Рассмотрим грань $AD_1C_1$, перпендикуляр $B_1H_1$ и наклонную $B_1E_1$ к этой грани. По теореме о трех перпендикулярах, $AE_1\bot{B_1E_1}$, если $AE_1$ перпендикулярна проекции $B_1E_1$ на грань $AD_1C_1$.
Рассмотрим $B_1H_1E_1$; $\angle{B_1H_1E_1}=90^\circ$, так как $B_1H_1$ является перпендикуляром к $AD_1C_1$. Тогда $H_1E_1=E_1B_1\cos{\gamma}$ — проекция $E_1B_1$ на $AD_1C_1$, $\gamma$ — двугранный угол, образованный гранями $AD_1C_1$ и $AD_1B_1$. Но $H_1E_1\bot{AD_1}$ как перпендикуляр, проведенный из $H_1$ к $AD_1$. Используя далее теорему о трех перпендикулярах, можно видеть, что $AE_1\bot{B_1E_1}$.
Аналогично, $AE_2\bot{B_2E_2}$.
Рассмотрим треугольник $AE_1B_1$. На основании рассуждений, проведенных выше, можно сделать вывод, что он прямоугольный, $\angle{AE_1B_1}=90^\circ$ и, следовательно, $B_1E_1$ = $AB_1\sin{\alpha}$, $\alpha$ — угол между сторонами $AD_2$ и $AB_2$.
Из прямоугольного треугольника $B_1H_1E_1$ имеем $B_1H_1 = B_1E_1\sin{\gamma}$.
Подставим $B_1E_1$:
$B_1H_1 = (AB_1\sin{\alpha})\sin{\gamma}$.
Аналогично,
$B_2H_2 = (AB_2\sin{\alpha})\sin{\gamma}$.
Отсюда, $\frac{B_1H_1}{B_2H_2} = \frac{AB_1}{AB_2}$.
Рассмотрим треугольник $AD_1C_1$. Его площадь $S_{AD_1C_1} = \frac{1}{2}AD_1AC_1\sin{\beta}$, $\beta$ — угол, заключенный между сторонами $AD_1$ и $AC_1$.
Аналогично, $S_{AD_2C_2} = \frac{1}{2}AD_2AC_2\sin{\beta}$.
Отсюда, $\frac{S_{AD_1C_1}}{S_{AD_2C_2}} = \frac{AC_1AD_1}{AC_2AD_2}$.
Объем пирамиды равен трети площади основания, умноженной на высоту, проведенную к ней. Значит, $V_{AB_1C_1D_1}=\frac{1}{3}B_1H_1S_{AD_1C_1}$,
$V_{AB_2C_2D_2}=\frac{1}{3}B_2H_2S_{AD_2C_2}$.
Окончательно
$\frac{V_{AB_1C_1D_1}}{V_{AB_2C_2D_2}} = \frac{\frac{1}{3}B_1H_1S_{AD_1C_1}}{\frac{1}{3}B_2H_2S_{AD_2C_2}} = \frac{B_1H_1}{B_2H_2} \cdot \frac{S_{AD_1C_1}}{S_{AD_2C_2}} = \frac{AB_1}{AB_2} \cdot \frac{AC_1AD_1}{AC_2AD_2} = \frac{AB_1 \cdot AC_1 \cdot AD_1}{AB_2 \cdot AC_2 \cdot AD_2}$.

Ответ:

Утверждение доказано.