Элементарная математика. Геометрия.

Задача 7

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы, образованные произвольной прямой с тремя попарно перпендикулярными прямыми. Докажите, что $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В качестве попарно перпендикулярных прямых возьмем его стороны $CD$, $AD$ и $DD_1$, а в качестве произвольной прямой $-$ диагональ $DB_1$. По теореме о трех перпендикулярах $\angle DCB_1 = 90^\circ$, т.к $DC$ перпендикулярна проекции $BC$ наклонной $B_1C$.
$\angle B_1AD = 90^\circ$, $\angle DD_1B_1 = 90^\circ$ (доказывается аналогично).

Из прямоугольных треугольников $\triangle DCB_1$, $\triangle B_1AD$, $\triangle DD_1B_1$ выразим $\cos{\alpha}$, $\cos{\beta}$ и $\cos{\gamma}$ соответственно:
$\cos{\alpha} = \dfrac{CD}{DB_1}$, $\cos{\beta} = \dfrac{AD}{DB_1}$, $\cos{\gamma} = \dfrac{DD_1}{DB_1}$

Отсюда:
$\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=\dfrac{CD^2}{DB_1^2}+\dfrac{AD^2}{DB_1^2}+\dfrac{DD_1^2}{DB_1^2}=\dfrac{CD^2+AD^2+DD_1^2}{DB_1^2} = \bigoplus$

Из прямоугольного $\triangle CDD_1$ по теореме Пифагора: $CD^2 + DD_1^2 = CD_1^2$.
Заметим, что $CD_1 = DC_1 = AB_1$ (диагонали равных прямоугольников).
Из прямоугольного $\triangle DAB_1$ по теореме Пифагора: $AB_1^2 + AD^2 = DB_1^2$.

С учетом замечаний преобразуем наше равенство:
$\bigoplus=\dfrac{CD_1^2+AD^2}{DB_1^2}=\dfrac{AB_1^2+AD^2}{DB_1^2}=\dfrac{DB_1^2}{DB_1^2}=1.$