Элементарная математика. Геометрия.

Задача 8

Пусть $S$ и $P$ — площади двух граней тетраэдра, $a$ — длина общего их ребра, $\alpha$ — двугранный угол между ними. Докажите, что объем тетраэдра $V$ может быть найден по формуле  $V=\frac{2SP\sin\alpha}{3a}$.

Решение:
Рассмотрим тетраэдр $DABC$, в котором $S_{\triangle ABC} =S, S_{\triangle BCD} =P$ и $BC = a$. Пусть $DF=d$ — высота к стороне $BC$ в треугольнике $BCD$, а $FE \perp BC$. Тогда $\angle DFE =\alpha$ — угол между гранями $BCD$ и $ABC$. Так как $d$ — высота треугольника $BCD$,  площадь которого равна $P$, то по формуле площади треугольника получается, что $d=\frac{2P}{a}$.
Тогда для высоты тетраэдра, опущенной из вершины $D$, имеет место равенство $h=d\sin\alpha=\frac{2P}{a}\sin\alpha$, так как треугольник $DEF$ — прямоугольный (по теореме о трех перпендикулярах), а $h$ — его катет напротив угла $\alpha$.

Значит, $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{2SP\sin\alpha}{3a}$.

Ответ:

Доказано.