Элементарная математика. Геометрия.

Задача 9

Докажите, что для объема произвольного тетраэдра $V$ справедлива формула $V= \frac{abd \sin{ \varphi }}{6}$ , где $a$ и $b$ — два противоположных ребра тетраэдра, $d$ — расстояние между ними, $\varphi$ — угол между ними.

Доказательство:

Пусть $EABC$ — тетраэдр, $AE=a,BC=b, \angle (AE;BC)=\varphi$.

В плоскости $ABC$ проведем $AF \parallel BC, FC\parallel AB$. Тогда $AF=BC=b$ и $\angle EAF=\varphi$.
Достроим $EF$ и рассмотрим тетраэдр $EFAC$ и заданный. Очевидно, что их объемы равны, так как у них равные основания и общая высота.
Достроим высоту $CG$ тетраэдра $CEFA$. Тогда $V_{CEFA}= \frac {1}{3} S_{AEF} \cdot CG$.

Докажем, что высота $CG= d$. Так как $BC \parallel AF$, то $BC$ будет параллельна всей плоскости $AFE$.  Перпендикуляры $CG$ и $HI$ проведены к плоскости от параллельной ей прямой. Следовательно $CG=IH=d$.
Окончательно имеем
$V_{FACE} = \frac {1}{3}\cdot S_{FAE}\cdot CG = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} ab \sin{ \varphi } \cdot d = \frac {1}{6} abd \sin{ \varphi }$.

Ответ:

Доказано.