Элементарная математика. Геометрия.

Задача 10

Докажите, что плоскость, делящая пополам двугранный угол при каком-либо ребре тетраэдра, делит противоположное ребро на части, пропорциональные площадям граней, заключающих этот угол.

Решение1:

Рассмотрим тетраэдр $ABCE$.
Плоскость $CKE$ делит наш двугранный угол пополам и пересекает ребро $AB$ в точке $K$.
Опустим два перпендикуляра $KL$ и $KM$ на плоскости $ACE$ и $BCE$ соответственно.
Запишем очевидное равенство $\frac{V_1}{V_2}=\frac{V_{KACE}}{V_{KBCE}}=$ $\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle ACE}KL}{\frac{1}{3}S_{\triangle BCE}KM}=$ $\frac{S_{\triangle ACE}}{S_{\triangle BCE}}$,
так как $KL=KM$(перпендикуляры, опущенные на стороны угла из точки, лежащей на биссектрисе этого угла).
С другой стороны,
$\frac{V_{KACE}}{V_{KBCE}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle AKC}{H}}{\frac{1}{3}S_{\triangle BKC}{H}}=\frac{\frac{1}{3}H\frac{1}{2}AKh}{\frac{1}{3}H\frac{1}{2}{BK}{h}}=\frac{AK}{BK}$, где $H$ — общая высота $ED$ для пирамид $KACE$ и $KBCE$, $h$ — общая высота $\triangle AKC$ и $\triangle BKC$, проведенная из точки $C$.

Окончательно имеем
$\frac{S_{\triangle ACE}}{S_{\triangle BCE}}=\frac{AK}{BK}$.

Ответ:

доказано.