Элементарная математика. Геометрия.

Задача 11

Докажите, что для объема $V$ многогранника, описанного около сферы радиусом $R$, справедливо равенство

$V = \frac{1}{3} \cdot S_n \cdot R$,

где $S_n$ — полная поверхность многогранника.

Доказательство:

Построим  многогранник $ABCDEFGH$, это, вообще говоря, может быть абсолютно любой многогранник, в который можно вписать сферу. Для простоты понимания, построим куб. Точка $J$ — точка пересечения диагоналей $AG, BH, CE, DF$. Поскольку $ABCDEFGH$ — куб, то в него можно вписать сферу с центром в точке пересечения его диагоналей. Построим сферу с центром в точке $J$ и радиусом $R$. 

Рассмотрим точку $J$, она является центром сферы, а также точкой пересечения диагоналей куба. Рассмотрим многоугольник $JGHEF$, это пирамида с основанием совпадающим с гранью куба $ABCDEFGH$ и высотой, равной длине расстояния от четырехугольника $EFGH$ до точки $J$. Очевидно, что данное расстояние — радиус сферы, вписанной в куб $ABCDEFGH$. Обозначим расстояние от сферы до четырехугольника $EFGH$ отрезком $JL = R$.

Рассмотрим пирамиду $JGHEF$, ее объем равен: $V_{JGHEF} = \frac{1}{3} \cdot S_{EFGH} \cdot R$. Так как в куб вписана сфера, то мы имеем шесть точек касания сферой граней куба. Следовательно, можно построить шесть пирамид с высотой, равной радиусу вписанной в куб сферы, и площадью основания, равной площади грани куба.

Так как площадь полной поверхности многогранника — сумма сумма площадей всех его граней, то объем многогранника $ABCDEFGH$ равен $V = V_{JGHEF} + V_{JBCGF} + V_{JABFE} + V_{JDAEH}+ V_{JDCGH}+ V_{JABCD}$ = $\frac{1}{3}\cdot R \cdot (S_{JGHEF}+ S_{JBCGF}+ S_{JABFE}+ S_{JDAEH} + S_{JDCGH} + S_{JABCD})$ = $\frac{1}{3} \cdot S_n \cdot R$, где $S_n$ — полная поверхность многогранника $ABCDEFGH$. ЧТД.

Ответ:

Доказано.