Элементарная математика. Геометрия.

Задача 12

Дан выпуклый многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях. Докажите, что его объём можно вычислить по формуле $V = \frac{h}{6} {(S_1 + S_2 + 4S)}$, где $S_1$ — площадь грани, расположенной в одной плоскости, $S_2$ — плоскость грани, расположенной в другой плоскости, $S$ — площадь сечения многогранника плоскостью, равноудаленной от двух данных, $h$ — расстояние между данными плоскостями.

Решение: 

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом.

На рисунке изображен призматоид $ABCDEFGHIJ$. Среднее сечение — выпуклый многоугольник, стороны которого являются средними линиями боковых граней. Выберем в среднем сечении произвольную точку $O$ и соединим ее со всеми вершинами призматоида. Мы получаем несколько пирамид с общей вершиной $O$.

Пирамида $OABCDE$ имеет объем $V_1 = \frac{1}{6} hS_1$, пирамида $OFGHIJ$ имеет объем $V_2 = \frac{1}{6} hS_2$. Основания других пирамид принадлежат боковым граням призматоида. Так как каждую четырехугольную грань можно разделить диагональю на два треугольника, то будем рассматривать треугольные пирамиды. Рассмотрим пирамиду $OBCG$. 

Поскольку :

$4\,S_{GMN} = S_{GBC}$, то 

$V_{OBCG}=4V_{OGMN}=4\frac{1}{6}h S_{OMN}$.

Сложив объемы всех таких пирамид, получаем:

$V_3 = \frac{1}{6} h 4S$.

В конечном итоге получаем:

$V=V_1+V_2+V_3=\frac{h}{6}{(S_1+S_2+4S)}$.

Ответ:

доказано.