Элементарная математика. Геометрия.

Задача 13

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке(центре тяжести тетраэдра) и делятся в ней в отношении 3:1(считая от вершин). Докажите также, что в этой же точке пересекаются и делятся пополам отрезки, соединяющие середины противоположных ребер.

Решение:

Докажем, что любые две медианы тетраэдра (отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани) пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении $3:1$, считая от вершины. Отсюда будет следовать, что через точку, делящую одну из медиан тетраэдра в отношении $3:1$, считая от вершины, проходят остальные три медианы. Пусть $M$ и $N$ — точки пересечения медиан граней $ABC$ и $ABD$ тетраэдра $ABCD$, $K$ — середина $AB$. Плоскость, проходящая через точки $D$, $K$ и $C$, содержит точки $M$ и $N$, причём стороны $CK$ и $DK$ треугольника  $DKC$ делятся этими точками в одном и том же отношении:

$CM:MK=DN:NK=2:1$.

Следовательно треугольники $KCD$ и $KMN$ — подобны, $CD||MN$ и
$CD:MN = KC:KM= 3 : 1$.

Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $DM$ и $CN$. Треугольники $DOC$ и $MON$ подобны. Значит

$OD:OM = OC : ON=CD : MN = 3 : 1$.

Что и требовалось доказать.

Для доказательства второго утверждения соединим середины ребер, лежащих в одной грани. Получим, что каждый из отрезков будет средней линией соответствующего треугольника. Заметим, что:
$MN||AB, PQ||AB$,
поэтому
$MN||PQ, MQ||DC, NP||DC$,
так что,
$MQ||NP$.
Значит, 4-угольник $MNPQ$ — параллелограмм по определению, его диагонали $QN$ и $MP$ пересекаются в т.$O$ и делятся ею пополам. Отрезки $QN$ и $MP$ соединяют середины противоположных ребер тетраэдра.
Повторяя проведенные выше рассуждения с другими гранями, заключаем, что $RS$ и $QN$ тоже пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам.
Таким образом, все три отрезка: $RS$, $QN$,  $MP$ — пересекаются в т. $O$ и делятся ею пополам.

Утверждение доказано.